Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 12 № 70737

Найдите наименьшее значение функции y = 66 тангенс x минус 132x плюс 33 Пи плюс 7 на отрезке  левая квадратная скобка минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 ; дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 правая квадратная скобка .

Решение.

Найдем производную заданной функции:

{y}'=66 умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — {{ косинус в степени 2 }x} минус 132= дробь, числитель — минус 66(2{{ косинус } в степени 2 }x минус 1), знаменатель — {{ косинус в степени 2 }x}= дробь, числитель — минус 66 косинус 2x, знаменатель — {{ косинус в степени 2 }x}.

Производная определена во всех точках заданного отрезка. Найдем ее нули на этом отрезке:

 система выражений  новая строка косинус 2x=0,  новая строка минус дробь, числитель — 2 Пи , знаменатель — 3 меньше или равно 2x меньше или равно дробь, числитель — 2 Пи , знаменатель — 3 конец системы . равносильно совокупность выражений  новая строка 2x= дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 ,  новая строка 2x= минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 конец совокупности . равносильно совокупность выражений  новая строка x= дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 ,  новая строка x= минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 . конец совокупности .

Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:

Наименьшим значением функции на заданном отрезке будет наименьшее из чисел y левая круглая скобка минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 правая круглая скобка и y левая круглая скобка дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 правая круглая скобка . Найдем их:

y левая круглая скобка минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 правая круглая скобка =66 тангенс левая круглая скобка минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 правая круглая скобка минус 132 левая круглая скобка минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 правая круглая скобка плюс 33 Пи плюс 7= минус 66 корень из { 3} плюс 77 Пи плюс 7,

y левая круглая скобка дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 правая круглая скобка =66 тангенс дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 минус 132 дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 плюс 33 Пи плюс 7=66 плюс 7=73.

Заметим, что y левая круглая скобка минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 правая круглая скобка больше y левая круглая скобка дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 правая круглая скобка , поэтому наименьшее значение функции на отрезке равно 73.

 

Ответ: 73.

Классификатор базовой части: 3.2.5 Точки экстремума функции, 3.2.6 Наибольшее и наименьшее значения функции, 4.2.1 Применение производной к исследованию функций и построению графиков, Наименьшее (наибольшее) значение функции на границе отрезка, Наименьшее (наибольшее) значение функции во внутренней точке отрезка, Наименьшее (наибольшее) значение функции на бесконечном промежутке