В си­сте­ме ко­ор­ди­нат хOa изоб­ра­зим окруж­ность, за­да­ва­е­мую урав­не­ни­ем все точки ко­то­рой об­ра­ща­ют чис­ли­тель дроби в нуль, и па­ра­бо­лу точки ко­то­рой со­от­вет­ству­ют нулям зна­ме­на­те­ля.

Под­став­ляя в урав­не­ние и решая по­лу­чен­ное урав­не­ние, най­дем точки пе­ре­се­че­ния окруж­но­сти и па­ра­бо­лы: и   — точка ка­са­ния. Для най­ден­ных точек чис­ли­тель и зна­ме­на­тель об­ра­ща­ют­ся в нуль од­но­вре­мен­но.

Сле­до­ва­тель­но, за­дан­ное урав­не­ние имеет ровно два ре­ше­ния, когда

Ответ:

При­ве­дем ре­ше­ние То­фи­га Али­е­ва.

Ис­ход­ное урав­не­ние имеет ровно два раз­лич­ных ре­ше­ния, если чис­ли­тель имеет два раз­лич­ных корня, а зна­ме­на­тель не равен 0. Чис­ли­тель имеет два раз­лич­ных корня, если дис­кри­ми­нант по­ло­жи­те­лен:

Ис­клю­чим зна­че­ния па­ра­мет­ра а, при ко­то­рых зна­ме­на­тель об­ра­ща­ет­ся в 0. Под­ста­вив в чис­ли­тель по­лу­чим

Сле­до­ва­тель­но, чис­ли­тель и зна­ме­на­тель од­но­вре­мен­но об­ра­ща­ют­ся в ноль при и при усло­вии или и Эти зна­че­ния па­ра­мет­ра а долж­ны быть ис­клю­че­ны.

Итак, за­дан­ное урав­не­ние имеет ровно два ре­ше­ния, когда