РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Дано натуральное число n. За один ход разрешается либо прибавить к числу его наибольший делитель, не равный самому числу $левая круглая скобка d_max меньше n правая круглая скобка ,$ либо вычесть из числа его наименьший делитель, больший 1 $левая круглая скобка d_min больше 1 правая круглая скобка .$

а)  Можно ли за несколько таких ходов из числа 4 получить число 15?

б)  Можно ли за несколько таких ходов из числа 10 получить число 13?

в)  Какое наименьшее количество ходов потребуется, чтобы из числа 2 получить число 60?

Решение. а)  Да, например,

$4 плюс 2 = 6,$

$6 плюс 3 = 9,$

$9 плюс 3 = 12,$

$12 минус 2 = 10,$

$10 плюс 5 = 15.$

б)  Пусть дано составное число, наибольший делитель которого равен a, а наименьший  — b, кроме делителей n и 1. Следовательно, число равно ab, а получается из него либо как $ab плюс a = a левая круглая скобка b плюс 1 правая круглая скобка ,$ либо как $ab минус b = b левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка .$ В первом случае результат  — составное число. Во втором случае результат может быть простым, но только если $a = 2,$ но тогда $b левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка меньше или равно 2 умножить на 1 = 2 меньше 13.$

Если же выполнять действия с простым числом p, то из него получается либо $p плюс 1,$ либо 0. Таким образом, получить число 13 нельзя ни из числа 10, ни из какого-либо другого.

в)  Рассмотрим цепочку превращений

$2 плюс 1 =3,$

$3 плюс 1 = 4,$

$4 плюс 2 = 6,$

$6 плюс 3 = 9,$

$9 плюс 3 = 12,$

$12 плюс 6 = 18,$

$18 минус 3 = 15,$

$15 плюс 5 = 20,$

$20 плюс 10 = 30,$

$30 плюс 15 = 45,$

$45 плюс 15 = 60.$

В ней 11 действий.

Допустим, можно справиться за 10 или менее действий. Если на каком-то шаге получается число, которое уже встречалось, то выписывать его не будем, поскольку получить его можно было раньше. Следовательно, 5 начальных действий определены однозначно:

$2 плюс 1 =3,$

$3 плюс 1 = 4,$

$4 плюс 2 = 6,$

$6 плюс 3 = 9,$

$9 плюс 3 = 12.$

Осталось 5 или менее действий. При этом каждое действие увеличивает число максимум в

$дробь: числитель: a левая круглая скобка b плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: ab конец дроби = дробь: числитель: b плюс 1, знаменатель: b конец дроби = 1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: b конец дроби меньше или равно 1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби = 1,5$ раза.

Значит, за 2 действия число может увеличиться максимум в  $1,5 в квадрате$  раз, за три  — максимум в  $1,5 в кубе$  раз и так далее. Следовательно, на 9 действии нужно иметь число, не меньшее 40, на восьмом  — не меньшее $40 умножить на дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби больше 26,$ то есть не меньшее 27, на седьмом  — не меньшее $27 умножить на дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби = 18,$ на шестом  — не меньшее $18 умножить на дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби = 12.$ Таким образом, число 12, полученное на 5 действии, нельзя уменьшать. Продолжаем цепочку:

$12 плюс 6 = 18,$

$18 плюс 9 = 27.$

Число 27 также уже нельзя уменьшать, поэтому

$27 плюс 9 = 36,$

$36 плюс 18 = 54.$

Из числа 54 получить 60 за одно действие нельзя, поэтому для получения из числа 2 числа 60 потребуется минимум 11 действий.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  11.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	698242	а)  да; б)  нет; в)  11.

Ключ