Тип 17 № 696043 
Планиметрическая задача. Окружности и треугольники, разные задачи
i
В треугольнике ABC точка I — центр вписанной окружности, а J — центр вневписанной окружности, касающейся стороны AC. Пусть r и r1 — радиусы этих окружностей, а h — высота треугольника ABC, проведенная из вершины B к стороне AC.
а) Докажите, что 
б) Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что площадь треугольника AIC равна 10, а площадь треугольника AJC равна 15.
Решение. 
а) Пусть точки P и Q — точки касания окружности и прямых BA и BC соответственно, точка N — точка касания окружности и прямой AC. Длины отрезков касательных, проведенных из одной точки, равны, поэтому 
и 
Следовательно,
а потому 
Прямоугольные треугольники PBJ и BQJ равны по двум катетам, тогда
Прямоугольные треугольники PAJ и NAJ равны по двум катетам, аналогично равны прямоугольные треугольники CQJ и CNJ, тогда получаем:
Площадь треугольника ABC равна
С другой стороны, 
откуда 
Последовательно получаем:
б) Из условия получаем, что
Из доказанного в пункте а) находим:
Площадь треугольника ABC равна
Ответ: б) 60.
Примечание 1.
Данный в задаче треугольник ABC — тупоугольный, верное расположение фигур показано на рисунке справа, цветные точки — центры окружностей и точки касания, обозначенные в ходе решения. Выше использовался рисунок с произвольным треугольником ABC. Это не повлияло на правильность рассуждений.
Примечание 2.
Некоторые из полученных в ходе решения формул известны читателю, изучавшему вневписанные окружности.
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ответ: б) 60.
696043
б) 60.
PDF-версии: 
