PDF-версии: 
В окружности радиусом R проведены хорды KL и MN, перпендикулярные друг другу и пересекающиеся в точке F.
а) Докажите, что при этих условиях выполняется равенство 
б) Найдите радиус окружности R, если KF = 3, FM = 8, FN = 6.
Решение. а) Пусть точка E на окружности такая, что прямая NE параллельна прямой KL. Тогда четырехугольник KNEL — вписанная трапеция, а потому равнобедренная:
Отрезок FN — высота трапеции, поэтому 
Хорда ME стягивает дугу MLE, на которую опирается прямой угол, то есть хорда ME — диаметр. Следовательно, угол MLE — прямой, а потому
б) Произведения длин отрезков пересекающихся хорд равны: 
откуда
Из прямоугольных треугольников MFL и KFN соответственно получаем:
Из доказанного в пункте а) находим:
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |