Ре­ше­ние. В каж­дой игре раз­да­ют­ся иг­ро­кам по 2 очка, по­это­му всего будет роз­да­но очков, из ко­то­рых 153 долж­ны по­лу­чить рос­сий­ские ко­ман­ды и 153  — про­чие. За­ме­тим, что про­чие ко­ман­ды по­лу­ча­ют очка в играх между собой, по­это­му еще очко они на­би­ра­ют в играх с рос­сий­ски­ми ко­ман­да­ми. Зна­чит, про­иг­рать все матчи рос­сий­ским ко­ман­дам они не могут (это пункт б).

По­стро­им те­перь при­мер, когда рос­сий­ские ко­ман­ды не про­иг­ры­ва­ют ни од­но­го матча и, зна­чит, де­ла­ют 21 ничью. Упо­ря­до­чим про­чие ко­ман­ды по силе, и пусть сла­бая все­гда про­иг­ры­ва­ет силь­ной. Тем самым ко­ман­ды на­бе­рут очка в мат­чах между собой.

Далее, вы­бе­рем три «сла­бых» и три «силь­ных» рос­сий­ских ко­ман­ды. Пусть сла­бые сыг­ра­ют вни­чью с семью сла­бы­ми из про­чих, а у осталь­ных про­чих вы­иг­ра­ют, а силь­ные вы­иг­ра­ют все матчи с про­чи­ми ко­ман­да­ми. Те­перь про­чие ко­ман­ды имеют очка и сумма их очков как раз 153, сла­бые рос­сий­ские ко­ман­ды имеют по 17, а силь­ные рос­сий­ские по 24. Те­перь упо­ря­до­чим и рос­сий­ские по силе (при этом сла­бые сде­ла­ем тремя сла­бей­ши­ми) и пусть силь­ная все­гда вы­иг­ры­ва­ет у сла­бой. Тогда в итоге рос­сий­ские ко­ман­ды будут иметь ре­зуль­та­ты 17, 19, 21, 30, 32, 34. Как видно ни­ка­ких по­вто­ров ре­зуль­та­та не про­изо­шло.

в)  До­пу­стим так про­изо­шло. Осталь­ные 9 ко­манд из СНГ на­бра­ли толь­ко в играх между собой очка, по­это­му на долю трех по­бе­ди­те­лей при­хо­дит­ся не более очка. Зна­чит, ко­ман­да, за­няв­шая тре­тье место, на­бра­ла не более 26  очков, по­сколь­ку Зна­чит, рос­сий­ские ко­ман­ды на­бра­ли не более

очков, про­ти­во­ре­чие.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  нет.

а)  За­ме­тим, что все числа де­лят­ся на 8: это прав­да для пер­во­го числа, а при удво­е­нии и сло­же­нии крат­ных 8 чисел ре­зуль­та­ты тоже по­лу­ча­ют­ся крат­ны­ми 8. Но 2028 не крат­но 8.

б)  Да. На­при­мер, так: 8, При этом

в)  За­ме­тим, что наи­боль­шее число на доске рас­тет каж­дую ми­ну­ту не более чем в два раза. Можно по­лу­чить 896 так:

Это по­тре­бу­ет 8 минут.

До­пу­стим, что можно до­бить­ся цели за 7 минут. Если де­лать за это время толь­ко удво­е­ния, по­лу­чим Если же хоть один раз сде­лать не удво­е­ние, а сло­же­ние, то при пер­вом этом дей­ствии мак­си­маль­ное число вы­рас­тет не более чем в пол­то­ра раза (если мак­си­маль­ное x, то преды­ду­щее было и по­то­му мак­си­маль­ное число не пре­вы­сит

Ответ: а)  нет; б)  да; в)  8 минут.