PDF-версии: 
В треугольнике АВС медиана АK, биссектриса BL и высота СМ пересекаются в одной точке Р, СР = 5, РМ = 3.
а) Докажите, что ВС параллельна ML.
б) Найдите площадь треугольника АВС.
Решение. а) Проведем перпендикуляр к ребру AB так, чтобы он проходил через точку A. Пусть этот перпендикуляр пересекает продолжение стороны BC за точку C в точке N. Тогда прямые MC и NA параллельны. Биссектриса делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон, поэтому в треугольнике ABK:
По теореме Фалеса для угла AKN и параллельных прямых AN и MC получаем 
Отрезок AK — медиана, поэтому 
то есть 
Из полученных отношений следует 
откуда 
Биссектриса делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон, поэтому в треугольнике ABC имеем: 
Значит, 
По теореме Фалеса для угла ABN и параллельных прямых AN и MC получаем 
Следовательно, 
тогда прямые ML и BC параллельны по теореме, обратной теореме Фалеса.
б) По свойству биссектрисы в треугольнике MBC находим: 
Пусть 
тогда по теореме Пифагора для треугольника BMC получаем:
Следовательно, 
Пусть 
Из пункта а) 
поэтому:
Ответ: б) 60.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |