ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 16 № 691671 Добавить в вариант

Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят t² тысяч рублей в конце года t  (t  =  1; 2; ...). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться на 20%. В конце какого года пенсионному фонду следует продать ценные бумаги, чтобы в конце тридцать пятого года сумма на его счёте была наибольшей?

Решение.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят 10t тыс. рублей в конце года t (t  =  1, 2, ...). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться на 24%. В конце какого года пенсионному фонду следует продать ценные бумаги, чтобы в конце двадцатого года сумма на его счёте была наибольшей?

Если пенсионный фонд продаст ценные бумаги в конце года k, то в конце двадцатого года на его счёте будет $a_k=10k умножить на 1,24 в степени левая круглая скобка 20 минус k правая круглая скобка$ тыс. руб. Чтобы найти наибольший член последовательности $левая фигурная скобка a_k правая фигурная скобка ,$ рассмотрим разность последовательных членов:

$a_k плюс 1 минус a_k = 10 левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка умножить на 1,24 в степени левая круглая скобка 20 минус k минус 1 правая круглая скобка минус 10k умножить на 1,24 в степени левая круглая скобка 20 минус k правая круглая скобка =10 умножить на 1,24 в степени левая круглая скобка 20 минус k минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка минус 0,24k плюс 1 правая круглая скобка .$ $a_k плюс 1 минус a_k = 10 левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка умножить на 1,24 в степени левая круглая скобка 20 минус k минус 1 правая круглая скобка минус 10k умножить на 1,24 в степени левая круглая скобка 20 минус k правая круглая скобка =$
$=10 умножить на 1,24 в степени левая круглая скобка 20 минус k минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка минус 0,24k плюс 1 правая круглая скобка .$

Уравнение $минус 0,24k плюс 1=0$ имеет корень $k = целая часть: 4, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 6 .$ Таким образом, $a_k плюс 1 больше a_k$ при $k\leqslant4,$ и $a_k плюс 1 меньше a_k$ при $k\geqslant5,$ то есть

$a_1 меньше a_2 меньше ... меньше a_5$

$a_5 больше a_6 больше ... больше a_20.$

Следовательно, наибольшим членом последовательности является a₅, то есть ценные бумаги надо продавать в конце пятого года.

Ответ: 5.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Верно построена математическая модель	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Аналоги к заданию № 518147: 640913 691671 Все

Прототип задания · Спрятать критерии · Видеокурс