РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

В магазине продают квадратные и прямоугольные подносы, длины сторон которых выражаются натуральными числами. Для каждого квадратного подноса обязательно найдётся прямоугольный, равный ему по площади, но шириной на 8 меньше, чем сторона квадратного. И наоборот, для каждого прямоугольного подноса обязательно найдётся квадратный, равный ему по площади, со стороной на 8 больше, чем его ширина.

а)  Может в магазине продаваться прямоугольный поднос шириной 18?

б)  Может в магазине продаваться прямоугольный поднос длиной 32?

в)  Какое наибольшее количество подносов с различными сторонами может продаваться в магазине?

Решение.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

На столе лежат вырезанные из бумаги квадраты и прямоугольники, размеры сторон которых  — натуральные числа. Для каждого квадрата обязательно найдется прямоугольник, равный ему по площади, но шириной на 5 меньше, чем сторона квадрата. И наоборот, для каждого прямоугольника обязательно найдётся квадрат, равный ему по площади, со стороной на 5 больше, чем его ширина.

а)  Может ли лежать на столе прямоугольник шириной 15?

б)  Может ли лежать на столе прямоугольник длиной 36?

в)  Какое наибольшее количество различных фигур может лежать на столе?

а)  Вместе с таким прямоугольником должен быть квадрат со стороной 15 + 5  =  20 и площадью 400. Значит, и площадь прямоугольника должна быть 400, поэтому его длина должна быть равна $дробь: числитель: 400, знаменатель: 15 конец дроби ,$ что нецелое.

б)  Пусть ширина прямоугольника x, тогда на столе есть равновеликий с прямоугольником квадрат со стороной x + 5, откуда $левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка в квадрате = 36x,$ откуда $x в квадрате минус 26x плюс 25=0,$ x = 1, x = 25. Значению x = 1 соответствует прямоугольник длины 36 и квадрат со стороной 6.

в)  Пусть ширина прямоугольника a, а длина b. Тогда на столе есть равновеликий с прямоугольником квадрат со стороной a + 5, откуда

$левая круглая скобка a плюс 5 правая круглая скобка в квадрате = ab равносильно a в квадрате плюс 10a плюс 25 = ab равносильно 25 = a левая круглая скобка b минус 10 минус a правая круглая скобка .$

Значит, 25 кратно a, откуда получаем три варианта:

$a = 1,$

$b минус 10 минус a = 25,$

$b = 36;$

$a = 5,$

$b минус 10 минус a = 5,$

$b = 20;$

$a = 25,$

$b минус 10 минус a = 1,$

$b = 36.$

К каждому прямоугольнику есть парный квадрат, и все они разные, поэтому на столе могут лежать максимум 6 фигур.

Ответ: а)  нет, б)  да, в)  6.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	691289	а)  нет; б)  да; в)  14.

Ключ