РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 14 № 689288 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 512

Методы геометрии: Использование векторов, Метод координат

Классификатор стереометрии: Куб, Деление отрезка

Стереометрическая задача. Расстояние между точками, от точки до прямой

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки P, K, L  — середины ребер АА₁, A₁D₁, B₁C₁ соответственно, точка Q  — центр грани CC₁D₁D. Отрезок MN c концами на прямых AD и KL соответственно пересекает прямую PQ и перпендикулярен ей.

а)  Докажите, что AM : MD  =  5 : 1.

б)  Найдите длину отрезка MN, если сторона куба равна 3.

Решение. а)  Пусть отрезок MN пересекает прямую PQ в точке E. Введем прямоугольную систему координат так, как показано на рисунке. Тогда в выбранной системе отсчета верны следующие координаты:

$P левая круглая скобка 0; 0; дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка ,$

$Q левая круглая скобка 3; дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка ,$

$M левая круглая скобка \lambda; 0; 0 правая круглая скобка ,$

$N левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ; \mu; 3 правая круглая скобка ,$

$\overrightarrowPQ = левая круглая скобка 3; дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ; 0 правая круглая скобка ,$

$\overrightarrowMN = левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби минус \lambda; \mu; 3 правая круглая скобка .$

Из условия перпендикулярности отрезка MN и прямой PQ получаем

$\overrightarrowPQ умножить на \overrightarrowMN = 0 равносильно 3 умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби минус \lambda правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби \mu = 0 равносильно дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби минус \lambda плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \mu = 0 равносильно \mu = 2 \lambda минус 3.$ $\overrightarrowPQ умножить на \overrightarrowMN = 0 равносильно 3 умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби минус \lambda правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби \mu = 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби минус \lambda плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \mu = 0 равносильно \mu = 2 \lambda минус 3.$

Кроме того, отрезок MN и прямая PQ пересекаются, поэтому $\overrightarrowPQ = a умножить на \overrightarrowPN плюс b умножить на \overrghtarrowPM,$ где $a, b принадлежит R ,$ откуда

$система выражений \mu = 2 \lambda минус 3, 3 = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби a плюс b \lambda, дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби = a \mu плюс 0b, 0 = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби a минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби b конец системы . равносильно система выражений \mu = 2 \lambda минус 3, 3 = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби a плюс a \lambda, \mu = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2a конец дроби , a = b конец системы . равносильно система выражений \mu = 2 \lambda минус 3, \lambda = дробь: числитель: 3, знаменатель: a конец дроби минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби , \mu = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2a конец дроби , a = b конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: 3, знаменатель: 2a конец дроби = дробь: числитель: 6, знаменатель: a конец дроби минус 3 минус 3, \lambda = дробь: числитель: 3, знаменатель: a конец дроби минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби , \mu = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2a конец дроби , a = b конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: 1, знаменатель: a конец дроби = дробь: числитель: 4, знаменатель: a конец дроби минус 4, \lambda = дробь: числитель: 3, знаменатель: a конец дроби минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби , \mu = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2a конец дроби , a = b конец системы . равносильно система выражений a = дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби , \lambda = дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби , \mu = 2, b = дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби . конец системы .$ $система выражений \mu = 2 \lambda минус 3, 3 = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби a плюс b \lambda, дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби = a \mu плюс 0b, 0 = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби a минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби b конец системы . равносильно система выражений \mu = 2 \lambda минус 3, 3 = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби a плюс a \lambda, \mu = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2a конец дроби , a = b конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений \mu = 2 \lambda минус 3, \lambda = дробь: числитель: 3, знаменатель: a конец дроби минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби , \mu = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2a конец дроби , a = b конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: 3, знаменатель: 2a конец дроби = дробь: числитель: 6, знаменатель: a конец дроби минус 3 минус 3, \lambda = дробь: числитель: 3, знаменатель: a конец дроби минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби , \mu = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2a конец дроби , a = b конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: 1, знаменатель: a конец дроби = дробь: числитель: 4, знаменатель: a конец дроби минус 4, \lambda = дробь: числитель: 3, знаменатель: a конец дроби минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби , \mu = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2a конец дроби , a = b конец системы . равносильно система выражений a = дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби , \lambda = дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби , \mu = 2, b = дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби . конец системы .$

Таким образом,

$AM : MD = \lambda : левая круглая скобка 3 минус \lambda правая круглая скобка = дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби : дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби = 5 : 1.$

б)  Из пункта а) напрямую следует, что

$MN в квадрате = левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби минус \lambda правая круглая скобка в квадрате плюс \mu в квадрате плюс 3 в квадрате = левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс 2 в квадрате плюс 3 в квадрате = 14,$

откуда $MN = корень из: начало аргумента: 14 конец аргумента .$

Ответ: б)  $корень из: начало аргумента: 14 конец аргумента .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: б)  $корень из: начало аргумента: 14 конец аргумента .$

689288

б)  $корень из: начало аргумента: 14 конец аргумента .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 512

Методы геометрии: Использование векторов, Метод координат

Классификатор стереометрии: Куб, Деление отрезка

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	689288	б)  $корень из: начало аргумента: 14 конец аргумента .$