PDF-версии: 
Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 
боковое ребро составляет с высотой угол 
Плоскость 
проходящая через вершину основания пирамиды, перпендикулярна противолежащему боковому ребру и разбивает пирамиду на две части.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью 
б) Определите объем прилегающей к вершине части пирамиды.
Решение. Пусть SABCD — заданная пирамида, O — центр его основания.
а) Построим последовательно:
1) Отрезок SO. (SO — высота пирамиды).
2) Отрезок
3) Прямую 
4) Отрезки AE, TE, KT, AK.
Четырехугольник AKTE — искомое сечение. Докажем это.
Так как через две пересекающиеся прямые AT и PK проходит единственная плоскость, то все точки A, K, T и Е будут лежать в одной плоскости.
Осталось доказать, что эта плоскость будет перпендикулярна прямой SC. Для этого достаточно доказать, что прямая SC будет перпендикулярна еще какой-либо прямой, отличной от АТ, лежащей в этой плоскости, например, прямой KE.
Прежде докажем, что 
По свойству квадрата имеем: 
Из перпендикулярности SO и (ABC) следует 
SO и AC — две пересекающиеся прямые плоскости ASC. Значит, 
В таком случае прямая BD перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости ASC, в том числе и к прямой SC. Но KE || BD по построению. Отсюда: 
Заметим, что:
— равносторонний, так как 
Следовательно, SO — высота, медиана и биссектриса 
Поскольку AT — по построению высота равностороннего 
AT — его медиана, т. е. 
так как KE || BD, то 
— равносторонний, причем SP — его биссектриса, следовательно, и медиана KP = PE; P — точка пересечения медиан : SO и AT; следовательно, 
а из параллельности PK и OD по теореме Фалеса следует: 
Так как заданная пирамида правильная, то она зеркально симметрична относительно плоскости ASC, отсюда: 
По свойству отношения объемов треугольных пирамид имеем:
Способ 2.
В 
по теореме косинусов будем иметь:
т. е. 
В 
по этой же теореме:
В 
Как видим, в этом треугольнике выполняется условие теоремы, обратной теореме Пифагора, откуда 
Итак, ребро SC пирамиды перпендикулярно к двум пересекающимся прямым АТ и KT, лежащим в плоскости построенного четырехугольника AETK. Значит, эта плоскость перпендикулярна ребру SC. Из перпендикулярности SC и (ETK) следует, что 
В таком случае KT = ET как проекции равных наклонных SK и SE к (ETK), 
т. е. 
В пирамиде SAETK с основанием AETK отрезок ST — высота пирамиды.
Значит, 
Ответ: б) 2.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 2 |
| Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено ИЛИ при правильном ответе решение недостаточно обосновано. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |