PDF-версии: 
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два различных решения.
ИЛИ
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных корня.
Решение. Каждое решение уравнения
либо является решением уравнения 
откуда 
либо является решением системы:
откуда 
при условии 
Для каждого из этих случаев подставим 
и найдём количество корней получившегося уравнения в зависимости от a.
Первый случай: 
откуда 
Второй случай: 
при условии Получаем квадратное уравнение 
Дискриминант этого уравнения равен
Значит, уравнение 
имеет два корня при 
имеет единственный корень x = 4 при 
и не имеет корней при 
При 
функция 
принимает наименьшее значение при x = 4, и это значение отрицательно. Следовательно, больший корень уравнения 
удовлетворяет условию 
тогда и только тогда, когда 
откуда 
Аналогично меньший корень уравнения 
удовлетворяет условию тогда и только тогда, когда 
откуда 
Число 
является корнем квадратного уравнения при
откуда
то есть при a = 3 и при 
Таким образом, исходная система уравнений имеет ровно два различных решения при 
Ответ: 
ИЛИ
Пусть 
тогда 
Раскроем модули:
Построим график функции 
Заметим, что значения 
не дают решений исходного уравнения, значение 
дает бесконечно много решений, а каждое значение 
дает два решения исходного уравнения.
Чтобы исходное уравнение имело два решения, квадратное уравнение 
должно иметь либо два различных корня, лежащих по разные стороны от числа 
либо должно иметь единственное решение, большее чем 
Рассмотрим эти случаи.
Случай 1. Функция 
задает на плоскости параболу, ветви которой направлены вверх, поэтому уравнение 
имеет два различных корня, лежащих по разные стороны от числа тогда и только тогда, когда значение функции f в точке 
отрицательно:
Случай 2. Уравнение имеет единственное решение, большее чем если и только если выполнена система условий 
и 
Имеем:
Объединяя полученные в двух случаях значения, получаем ответ.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |