PDF-версии: 
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD через ребро AB провели плоскость α, образующую сечение ABMN, где M и N — точки пересечения плоскости α с боковыми рёбрами SC и SD соответственно. Известно, что 
а) Докажите, что точки M и N делят ребра SC и SD в отношении 1 : 3, считая от вершины S.
б) Найдите косинус угла между плоскостью основания ABCD и плоскостью α.
Решение. а) Основанием правильной четырехугольной пирамиды является квадрат, значит, ребра AB и DC параллельны, а потому и плоскость α параллельна ребру DC. Следовательно, лежащая в плоскости α прямая MN также параллельна ребру DC. Тогда треугольники SNM и SDC подобны по двум углам
б) Пусть MN = x и SM = y, тогда MC = 3y и AB = AN = BM = 4x. Пусть точки K, P и Q — середины отрезков AB, MN и DC соответственно.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен PK, а гипотенуза равна BM. Второй катет такого треугольника
Косинус искомого угла равен косинусу угла между прямыми, перпендикулярными линии пересечения плоскостей, то есть 
—
В равнобедренном треугольнике SBC найдем косинус угла SCB:
Косинус этого же угла выразим из треугольника MBC:
Приравняем полученные значения:
Наконец, подставим найденные значеня в выражение для косинуса искомого угла:
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |