Диагонали равнобедренной трапеции ABCD с основаниями AD и BC перпендикулярны. Окружность с диаметром AD пересекает боковую сторону CD в точке M, а окружность с диаметром CD пересекает основание AD в точке N. Отрезки AM и CN пересекаются в точке P.
а) Докажите, что точка P лежит на диагонали BD трапеции ABCD.
б) Найдите расстояние от точки P до боковой стороны AB, если BC = 1, AD = 41.
a) Точка M лежит на окружности с диаметром AD, поэтому прямая AM перпендикулярна прямой CD, т. е. AM высота треугольника ACD. Аналогично CN — высота треугольника ACD. Пусть O — точка пересечения диагоналей трапеции. По условию задачи прямая DO перпендикулярна прямой AC, значит, DO — третья высота треугольника ACD. Высоты треугольника пересекаются в одной точке, следовательно, точка P пересечения высот AM и CN лежит на прямой OD, а значит, на диагонали BD.
б) Точка N — основание высоты трапеции, опущенной на основание AD, поэтому
Трапеция равнобедренная, а её диагонали перпендикулярны, поэтому 
Значит, 
CN = AN = 21.
По теореме Пифагора
Расстояние от точки P до боковой стороны AB равно высоте PH треугольника APB, опущенной на сторону AB, а так как AO также высота этого треугольника, получаем, что 
Следовательно,
Ответ: б) 