PDF-версии: 
В остроугольном треугольнике ABC проведены высота CC1 и медиана AA1, причем точки A, C, A1 и C1 лежат на одной окружности.
а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
б) Найдите площадь треугольника ABC, если AA1 : CC1 = 3 : 2 и A1C1 = 2.
Решение. а) Если четырехугольник ACA1C1 вписан в окружность, то сторона AC — ее диаметр (так как угол AC1C равен 90°), значит, угол AA1C равен 90°, откуда следует, что отрезок AA1 — медиана и высота, следовательно, AC = AB.
б) Отрезок A1C1 — медиана прямоугольного треугольника CC1B, поэтому 
то есть BC = 4. Пусть 
и 
тогда
откуда 
Следовательно, 
откуда для площади треугольника ABC получаем:
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |