РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 19 № 677080 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 497

Классификатор алгебры: Последовательности и прогрессии

Числа и их свойства. Последовательности и прогрессии

Натуральный ряд «удвоили», то есть каждое число записали дважды: 1, 1, 2, 2, 3, 3, ... . Получившийся ряд чисел разбили на последовательности: $M_1 = левая круглая скобка 1 правая круглая скобка ,$ $M_2 = левая круглая скобка 1; 2 правая круглая скобка ,$ $M_3 = левая круглая скобка 2; 3; 3 правая круглая скобка , \ldots$ так, что последовательность M_n содержит n чисел, идущих по порядку.

а)  Может ли сумма чисел в какой-⁠либо последовательности равняться 89?

б)  Может ли сумма чисел в какой-⁠либо последовательности равняться 119?

в)  Чему равна сумма чисел в последовательности M₁₀₀?

Решение. Ясно, что сумма чисел в каждом следующем M_i больше, чем в предыдущем, поскольку в нем больше чисел и сами они больше: первое в M_i не меньше чем первое в $M_i минус 1$ и так далее. Более того, есть еще последнее лишнее число.

а)  Например, $M_7 = левая фигурная скобка 11; 12; 12; 13; 13; 14; 14 правая фигурная скобка ,$ сумма этих чисел равна 89.

б)  Например, $M_8 = левая фигурная скобка 15; 15; 16; 16; 17; 17; 18; 18 правая фигурная скобка ,$ сумма этих чисел больше чем $15 умножить на 8 = 120 больше 119,$ поэтому при $i больше 8$ сумма в M_i больше 119, а при $i меньше 8$ сумма не больше 89. Значит, сумма 119 недостижима.

в)  До $M_100$ использовано

$1 плюс 2 плюс \ldots плюс 99 = дробь: числитель: 99 умножить на 100, знаменатель: 2 конец дроби = 99 умножить на 50$

чисел, то есть все числа до $99 умножить на 25$ по два раза. Значит,

$M_100 = левая фигурная скобка 99 умножить на 25 плюс 1; 99 умножить на 25 плюс 1; 99 умножить на 25 плюс 2; \ldots 99 умножить на 25 плюс 50 правая фигурная скобка .$

Сумма этих чисел равна

$100 умножить на 99 умножить на 25 плюс 2 левая круглая скобка 1 плюс 2 плюс \ldots плюс 50 правая круглая скобка = 2500 умножить на 99 плюс 50 умножить на 51 = 2500 умножить на 99 плюс 50 умножить на левая круглая скобка 50 плюс 1 правая круглая скобка =$
$= 2500 умножить на 99 плюс 2500 плюс 50 = 2500 умножить на 100 плюс 50=250 050.$ $100 умножить на 99 умножить на 25 плюс 2 левая круглая скобка 1 плюс 2 плюс \ldots плюс 50 правая круглая скобка =$
$= 2500 умножить на 99 плюс 50 умножить на 51 = 2500 умножить на 99 плюс 50 умножить на левая круглая скобка 50 плюс 1 правая круглая скобка =$
$= 2500 умножить на 99 плюс 2500 плюс 50 = 2500 умножить на 100 плюс 50=250 050.$ $100 умножить на 99 умножить на 25 плюс 2 левая круглая скобка 1 плюс 2 плюс \ldots плюс 50 правая круглая скобка =$
$= 2500 умножить на 99 плюс 50 умножить на 51 = 2500 умножить на 99 плюс 50 умножить на левая круглая скобка 50 плюс 1 правая круглая скобка =$
$= 2500 умножить на 99 плюс 2500 плюс 50 =$
$= 2500 умножить на 100 плюс 50=250 050.$

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  250 050.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  250 050.

677080

а)  да; б)  нет; в)  250 050.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 497

Классификатор алгебры: Последовательности и прогрессии

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	677080	а)  да; б)  нет; в)  250 050.