PDF-версии: 
На доске написано число 11. Раз в минуту Петя дописывает на доску одно число: либо вдвое большее какого-то из чисел на доске, либо равное сумме каких-то двух чисел, написанных на доске. Таким образом, через одну минуту на доске появится второе число, через две — третье и т. д.
а) Может ли в какой-то момент на доске оказаться число 2025?
б) Может ли в какой-то момент сумма всех чисел равняться 121?
в) Через какое наименьшее количество минут на доске может появится число 891?
Решение. а) Заметим, что все появляющиеся на доске числа будут кратны 11, поэтому написать 2025 не получится.
б) Да, например, можно дописывать числа в таком порядке:
Сумма чисел 
в) Разделим все числа на 11. Тогда изначально на доске будет написано число 1, а получить надо будет число 891 : 11 = 81. Можно, например, сделать это так — последовательно получать 2, 4, 5 = 4 + 1, 10, 20, 40, 80, 81 = 80 + 1. На это потребуется 8 минут.
Докажем, что семи минут не хватит. Допустим, что такой способ есть. Ясно, что последний ход не мог быть удвоением числа, поскольку 81 нечетно. Значит, мы складывали два числа. На остальные действия остаются 6 минут.
Заметим, что на каждом очередном ходу полученное число не более чем вдвое превосходит максимальное из ранее написанных чисел. Поэтому за 5 минут нельзя сделать число, большее, чем 32, а за 6 минут — большее, чем 64. Значит, если число 81 было получено как сумма двух слагаемых, одно из которых не больше 16, то второе не меньше 65 и для его получения уже понадобилось не менее 7 минут.
Итак, оба слагаемых находятся в диапазоне от 17 до 64. Для получения меньшего из них понадобилось не менее 5 минут, причем использовать для его получения большее из них было невозможно. Кроме того, большее должно быть не менее 41, поскольку 
Значит, для его получения понадобилось не менее 6 минут. Сделаем сначала все ходы для получения меньшего числа, те, которые дают числа, большие него, делать пока не будем. После этого одним ходом нужно будет получить большее. Значит, оно превосходит меньшее не более чем вдвое, откуда меньшее не меньше 27, большее не больше 54. Кроме того, меньшее не больше 32, иначе уже для его получения понадобятся 6 минут и получить большее мы просто не успеем. Итак, осталось объяснить, почему нельзя за 6 минут получить ни одну из пар (27, 54), (28, 53), (29, 52), (30, 51), (31, 50), (32, 49).
Во всех этих парах кроме первой большее число не является удвоенным меньшим, поэтому единственное дополнительное действие должно быть либо удвоением другого числа, не меньшего 25, либо суммированием двух чисел, одно из которых не превосходит 32 и потому второе не менее 17, значит, мы должны были получить перед этим действием еще одно число, не меньшее 17, на что потребовался дополнительный ход.
Остался вопрос, нельзя ли за 5 минут получить 27, то есть шестым ходом удвоить его, а седьмым сложить 27 и 54. Ясно, что последним действием при его получении было сложение, причем ни одно слагаемое не могло быть больше 16, иначе для него понадобилось бы уже 5 минут. То есть это были 13 + 14, 12 + 15 или 11 + 16. Каждое из этих чисел не меньше 9 и потому требует не менее 4 минут. За эти 4 минуты удастся получить лишь одно число, большее 8.
Ответ: а нет; б) да; в) 8.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в). | 4 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 3 |
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в) | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |