РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Обозначим через τ(n) количество делителей натурального числа n, включая единицу и само число. Число n будем называть хорошим, если n делится на τ(n).

а)  Может ли последней цифрой хорошего числа быть 3?

б)  Сколько существует нечетных хороших чисел $n меньше или равно 1000?$

в)  Пусть p  — простое число. Сколько решений имеет уравнение $n = p умножить на \tau левая круглая скобка n правая круглая скобка$ при фиксированном значении p?

Решение. Сразу заметим, что количество делителей числа $p_1 в степени левая круглая скобка k_1 правая круглая скобка p_2 в степени левая круглая скобка k_2 правая круглая скобка \ldots p_n в степени левая круглая скобка k_n правая круглая скобка$ вычисляется по формуле $левая круглая скобка k_1 плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка k_2 плюс 1 правая круглая скобка \ldots левая круглая скобка k_n плюс 1 правая круглая скобка .$

а)  Допустим, что такое число есть. Оно нечетно, поэтому может делиться только на нечетные числа. Значит, $левая круглая скобка k_1 плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка k_2 плюс 1 правая круглая скобка \ldots левая круглая скобка k_n плюс 1 правая круглая скобка$   — нечетное, поэтому все $k_1, k_2, \ldots, k_n$ четны. Тогда число является точным квадратом, однако квадраты не могут заканчиваться на 3. Получено противоречие.

б)  Из пункта а) очевидно, что нечетное хорошее число обязано быть точным квадратом. При этом если оно является квадратом простого числа, то имеет ровно три делителя, значит, хорошим из таких чисел является только 3². Поскольку $31 в квадрате меньше 1000 меньше 33 в квадрате ,$ остается проверить только числа 1², 9², 15², 21², 25² и 27²:

—   $\tau левая круглая скобка 1 в квадрате правая круглая скобка = 1,$ подходит.

—   $\tau левая круглая скобка 9 в квадрате правая круглая скобка = \tau левая круглая скобка 3 в степени 4 правая круглая скобка = 5,$ не подходит.

—   $\tau левая круглая скобка 15 в квадрате правая круглая скобка = \tau левая круглая скобка 3 в квадрате умножить на 5 в квадрате правая круглая скобка = 9,$ подходит.

—   $\tau левая круглая скобка 21 в квадрате правая круглая скобка = \tau левая круглая скобка 3 в квадрате умножить на 7 в квадрате правая круглая скобка = 9,$ подходит.

—   $\tau левая круглая скобка 25 в квадрате правая круглая скобка = \tau левая круглая скобка 5 в степени 4 правая круглая скобка = 5,$ подходит.

—   $\tau левая круглая скобка 27 в квадрате правая круглая скобка = \tau левая круглая скобка 3 в степени 6 правая круглая скобка = 7,$ не подходит.

Итак, подходят только 1, 3², 15², 21², 25², то есть пять чисел.

в)  Ясно, что n кратно p. Пусть $n = p в степени x умножить на y,$ где y не кратно p. Тогда преобразуем уравнение:

$n = p \tau левая круглая скобка n правая круглая скобка ,$

$p в степени x умножить на y = p \tau левая круглая скобка p в степени x умножить на y правая круглая скобка ,$

$p в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка умножить на y = левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка \tau левая круглая скобка y правая круглая скобка .$

Очевидно, что $y больше или равно \tau левая круглая скобка y правая круглая скобка ,$ поскольку все делители y содержатся среди y чисел $1, 2, 3, \ldots, y.$ Значит, $p в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка меньше или равно x плюс 1.$ Выясним, когда такое возможно:

—  если $x = 1,$ это утверждение верно при любом p.

—  если $x = 2,$ то $p меньше или равно 3.$

—  если $x = 3,$ то $p в квадрате меньше или равно 4,$ то есть $p = 2.$

При прочих $x больше или равно 4$ получаем:

$p в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка больше или равно 2 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка = 4 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка больше или равно 4 левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка больше x плюс 1.$

Мы используем неравенство $2 в степени n больше или равно n плюс 1$ при $n больше или равно 0,$ обращающееся в равенство при $n = 0$ и $n = 1$ и верное при $n больше 2,$ поскольку функция $2 в степени n минус n минус 1$ имеет производную $2 в степени n \ln2 минус 1 больше 2 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка минус 1 больше или равно 2 минус 1 больше 0$ при $n больше или равно 2$ и потому возрастает (следовательно, положительна).

Разберем оставшиеся случаи. Пусть $p больше 3.$ Тогда $x = 1$ и уравнение принимает вид $y = 2 \tau левая круглая скобка y правая круглая скобка .$ Поскольку $\tau левая круглая скобка y правая круглая скобка меньше или равно 2 корень из: начало аргумента: y конец аргумента$ (все делители числа разбиваются на пары, дающие в произведении это число, а один из элементов каждой пары не превосходит $корень из: начало аргумента: y конец аргумента правая круглая скобка ,$ получаем $y меньше или равно 4 корень из: начало аргумента: y конец аргумента ,$ то есть $y меньше или равно 16.$ Перебирая такие числа, находим y  =  8 или y  =  12. Итак, годятся лишь два числа  — 8p и 12p.

Пусть p  =  3. При $x = 1$ уравнение принимает вид $y = 2 \tau левая круглая скобка y правая круглая скобка ,$ но теперь $n = 12p$ не подходит, поскольку 12 кратно p. Итак, годится лишь $n = 8p = 24.$ При $x = 2$ уравнение принимает вид $3y = 3 \tau левая круглая скобка y правая круглая скобка ,$ то есть $y = \tau левая круглая скобка y правая круглая скобка .$ Годятся y  =  1 или y  =  2, другие числа y не будут кратны y – 1 и потому будут иметь менее y делителей. Значит, n  =  9 или n  =  18.

Пусть p  =  2. При x  =  1 теперь не подходят ни 8p, ни 12p. При $x = 2$ уравнение принимает вид $2y = 3 \tau левая круглая скобка y правая круглая скобка .$ Значит, y кратно 3 и при этом $2y меньше или равно 3 умножить на 2 корень из: начало аргумента: y конец аргумента ,$ откуда $y меньше или равно 9.$ Перебор показывает, что y  =  3 подходит, а y  =  6 и y  =  9  — нет (y  =  6 подходит в это уравнение, но кратно 2). Итак, еще один ответ это $2 в квадрате умножить на 3 = 12.$

Наконец, при $x = 3$ уравнение принимает вид $4y = 4 \tau левая круглая скобка y правая круглая скобка ,$ то есть $y = \tau левая круглая скобка y правая круглая скобка .$ Годятся y  =  1 или y  =  2 (второе значение на самом деле не подходит, поскольку кратно p), другие числа y не будут кратны y – 1 и потому будут иметь менее y делителей. Итак, годится лишь n  =  8.

Ответ: а)  нет; б)  5; в)  при p  =  2 подходят числа 8 и 12; при p  =  3 подходят числа 9, 18 и 24; при прочих p подходят числа 8p и 12p.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	673375	а)  нет; б)  5; в)  при p  =  2 подходят числа 8 и 12; при p  =  3 подходят числа 9, 18 и 24; при прочих p подходят числа 8p и 12p.

Ключ