Из точки M к окружности проведены касательная MB (B — точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках K и A, причем точка K лежит между M и A, а угол ABM — острый. Расстояние от центра окружности до хорды AB равно половине радиуса окружности.
а) Докажите, что угол MBA равен 60°.
б) Найдите площадь треугольника AMB, если MA = 7MK и радиус окружности 
а) Обозначим на рисунке точку O — центр окружности. Пусть отрезок OH — перпендикуляр к хорде AB. По условию 
значит, 
Радиус OB перпендикулярен касательной MB, поэтому 
б) Пусть MK = x, MA = 7x. По теореме о касательной и секущей:
В прямоугольном треугольнике OBH по теореме Пифагора 
Следовательно, 
По теореме косинусов в треугольнике MBA:
Искомая площадь равна
Ответ: 
Примечание редакции.
Составители сформулировали это задание с ошибкой. В условии вместо слов «угол ABM — острый» было сказано «треугольник AMB — остроугольный». Но описанный в условии треугольник AMB — тупоугольный. В самом деле, вычисления, сделанные в пункте б), показывают, что 
причем 
Для удобства вычислений рассмотрим треугольник 
подобный треугольнику ABC c коэффициентом подобия 
По теореме косинусов 
Но тогда 
а значит, угол A'M'B' и равный ему угол AMB — тупые. Мы исправили ошибку в условии.