PDF-версии: 
В параллелограмме ABCD биссектриса угла BAD пересекает сторону BC в точке K, а продолжение стороны DC — в точке P; диагональ AC является биссектрисой угла KAD.
а) Докажите, что 
б) Найдите AC : AP, если AB : BC = 3 : 8.
Решение. а) Пусть
тогда 
Кроме того,
Треугольник ABK равнобедренный по свойству биссектрисы параллелограмма, AB = BK = CD, треугольник CKA равнобедренный по признаку, KC = KA. 
равен 
как вертикальный, а 
и 
равны как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых секущей, тогда равны и 
и 
Следовательно, подобны треугольники ABK и PCK по трем углам, а потому треугольник PCK равнобедренный. Запишем пропорцию:
откуда получаем:
б) Пусть AB = 3x, BC = 8x, тогда BK = 3x, KC = PC = AK = 5x. По теореме косинусов в треугольнике ABK:
Далее в треугольнике ABC:
то есть 
Треугольники ABK и ADP подобны по трем углам, поэтому 
откуда
и тогда
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |