PDF-версии: 
Два квадрата ABCD и AMNK с периметрами соответственно 20 и 24 располагают в круге так, что точки C, D, M, N лежат на окружности, A — общая, B и K внутри круга, угол ВАK — острый.
а) Докажите, что угол BAK равен 
б) Найдите площадь круга.
Решение. Из условия AB = 5 и AK = 6. Пусть угол BAK равен α. Заметим, что
Обозначим 
Заметим, что 
Тогда по теореме косинусов имеем:
С другой стороны,
Приравнивая полученные выражения, получим, что
Возможны два случая: либо 
откуда угол CMN прямой, значит, точки C, A, N лежат на одной прямой и угол BAK равен 45°, либо 
откуда
следовательно, 
и 
что противоречит условию.
б) Пусть R — радиус окружности. Заметим, что отрезок CN — диаметр. Тогда
Таким образом, площадь круга равна
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |