Две окружности касаются внутренним образом в точке C. Вершины A и B равнобедренного прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая AC вторично пересекает бóльшую окружность в точке E, а прямая BC вторично пересекает меньшую окружность в точке D.
а) Докажите, что прямые AD и BE параллельны.
б) Найдите AC, если радиусы окружностей равны 3,5 и 12.
а) Пусть прямая CL — общая касательная двух окружностей, причём точки L и B лежат по одну сторону от прямой AC. Тогда по теореме об угле между касательной и хордой 
Значит, прямые AD и BE параллельны, поскольку соответственные углы CAD и CEB при пересечении этих прямых прямой AE равны.
б) Поскольку угол ACB прямой, прямые AD и BE — диаметры меньшей и большей окружностей соответственно. Прямоугольные треугольники ACD и ECB подобны по острому углу 
с коэффициентом подобия 
Пусть 
тогда 
В прямоугольном треугольнике ACD имеем
откуда находим 
Ответ: 