PDF-версии: 
Пусть 
— некоторые
для 
Рассмотрим выражение 
а) Может ли 
б) Может ли 
в) Какое наименьшее возможное значение S?
Решение. а) Пусть 
Все условия выполняются, при этом
б) Пусть 
при 
Все условия выполняются, при этом
в) Докажем, что каждое слагаемое в этой сумме не меньше 
В самом деле, если ai и 
одного знака, то их произведение положительно. Если же они разных знаков, то мысленно увеличим положительное до значения на 1 большего, чем отрицательное (произведение от этого только уменьшится). Тем самым получим произведение 
при 
Квадратный трехчлен 
на этом промежутке имеет наименьшее значение при 
это значение равно
Значит, сумма всех произведений не меньше 
а это значение достигается, если все числа ai с нечетными индексами равны 
а все числа с четными индексами равны 
Ответ: а) да; б) да; в) −506.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в). | 4 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 3 |
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в) | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |