PDF-версии: 
Дан тетраэдр SABC. На его ребре AC выбрана точка P так, что AP : PC = 3 : 5. Также на ребрах SA, SB и BC выбраны точки T, Q и R соответственно так, что PTQR — квадрат со стороной 3.
а) Докажите, что BR : RC = 3 : 5.
б) Найдите расстояние от точки C до плоскости PTQ, если известно, что объем тетраэдра равен 32.
Решение. а) Из условия следует, что прямые TQ и RP параллельны. Предположим, прямая PR пересекает прямую AB в точке X, тогда X — точка пересечения плоскости PTQR и прямой AB. Если точка X лежит на прямой TQ, то прямые
б) Аналогично пункту а) получаем, что прямая PT параллельна прямым
откуда 
Аналогично AB = 8.
Пусть расстояние между прямыми AB и CD равно d. Воспользуемся формулой объема тетраэдра, выраженного через длины скрещивающихся ребер, расстояние и угол между ними:
По условию 
откуда 
Осталось заметить, что плоскость PQT параллельна прямым 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |