РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 669743 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 475

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

Методы алгебры: Формулы двойного угла, Введение вспомогательного угла, Разложение на множители

Уравнения. Тригонометрические уравнения, разложение на множители

а)  Решите уравнение $синус 6 Пи x минус косинус 3 Пи x = корень из 2 косинус левая круглая скобка 3 Пи x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка минус 1.$

б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка 1 минус корень из 2 ; корень из 2 минус 1 правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Преобразуем уравнение:

$синус 6 Пи x минус косинус 3 Пи x = корень из 2 косинус левая круглая скобка 3 Пи x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка минус 1 равносильно 2 синус 3 Пи x косинус 3 Пи x минус косинус 3 Пи x = косинус 3 Пи x плюс синус 3 Пи x минус 1 равносильно$
$равносильно 2 синус 3 Пи x косинус 3 Пи x минус 2 косинус 3 Пи x минус синус 3 Пи x плюс 1 =0 равносильно левая круглая скобка 2 косинус 3 Пи x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка синус 3 Пи x минус 1 правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений 2 косинус 3 Пи x минус 1 =0, синус 3 Пи x минус 1 =0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений косинус 3 Пи x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус 3 Пи x = 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений 3 Пи x =\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, 3 Пи x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k конец совокупности .k принадлежит Z равносильно совокупность выражений x =\pm дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби плюс дробь: числитель: 2k, знаменатель: 3 конец дроби , x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: 2k, знаменатель: 3 конец дроби конец совокупности . k принадлежит Z .$

б)  Отберем корни при помощи двойных неравенств:

$1 минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби плюс дробь: числитель: 2k, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента минус 1 равносильно 9 минус 9 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента меньше или равно 1 плюс 6k меньше или равно 9 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента минус 9 равносильно$
$равносильно 8 минус 9 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента меньше или равно 6k меньше или равно 9 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента минус 10 равносильно дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби минус дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно k меньше или равно дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби равносильно минус дробь: числитель: 11, знаменатель: 12 конец дроби меньше k меньше дробь: числитель: 7, знаменатель: 12 конец дроби равносильно k=0.$

Найденному значению k соответствует корень $дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби .$ Проверим следующую серию:

$1 минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента меньше или равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби плюс дробь: числитель: 2k, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента минус 1 равносильно 9 минус 9 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента меньше или равно минус 1 плюс 6k меньше или равно 9 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента минус 9 равносильно$
$равносильно 10 минус 9 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента меньше или равно 6k меньше или равно 9 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента минус 8 равносильно дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби минус дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно k меньше или равно дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби равносильно минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 12 конец дроби меньше k меньше дробь: числитель: 11, знаменатель: 12 конец дроби равносильно k=0.$

Найденному значению k соответствует корень $минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби .$ Проверим следующую серию:

$1 минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: 2k, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента минус 1 равносильно 6 минус 6 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента меньше или равно 1 плюс 4k меньше или равно 6 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента минус 6 равносильно$
$равносильно 5 минус 6 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента меньше или равно 4k меньше или равно 6 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента минус 7 равносильно дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби минус дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно k меньше или равно дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби равносильно минус 1 меньше k меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно k=0.$

Найденному значению k соответствует корень $дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби плюс дробь: числитель: 2k, знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби плюс дробь: числитель: 2k, знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: 2k, знаменатель: 3 конец дроби : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

669743

а) $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби плюс дробь: числитель: 2k, знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби плюс дробь: числитель: 2k, знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: 2k, знаменатель: 3 конец дроби : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 475

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

Методы алгебры: Формулы двойного угла, Введение вспомогательного угла, Разложение на множители

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	669743	а) $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби плюс дробь: числитель: 2k, знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби плюс дробь: числитель: 2k, знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: 2k, знаменатель: 3 конец дроби : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби .$