РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

В футбольном турнире участвовало 10 команд, при этом каждая команда играла с каждой ровно по одному разу. За победу в одной игре команде присуждается 3 очка, за ничью  — одно очко, за поражение  — 0.

а)  Команда «Легион», участвовавшая в этом турнире, набрала 17 очков. Сколько матчей она могла завершить вничью?

б)  Сколько матчей всего было завершено вничью, если сумма очков, набранных всеми командами в сумме, в 60 раз больше количества очков, набранных одной из команд?

в)  Найдите наибольшее возможное число ничьих на турнире, если любые две команды, сыгравшие между собой вничью, набрали в итоге разное количество очков, причем найдется команда, завершившая ровно 6 матчей вничью?

Решение. Каждая команда провела 9 игр, поэтому всего игр было $дробь: числитель: 9 умножить на 10, знаменатель: 2 конец дроби =45$ (каждая игра посчитана два раза, поэтому нужно делить на 2).

а)  Пусть команда выиграла x матчей и свела вничью y матчей, тогда она набрала $3x плюс y$ очков. Значит, $3x плюс y=17,$ поэтому y может принимать только значения, дающие остаток 2 при делении на 3. Возможны варианты: $y=2,$ $x=5;$ $y=5,$ $x=4;$ вариант $y=8,$ $x=3$   — невозможен, получается минимум 11 игр, $y больше или равно 11$   — невозможно. Ясно, что примеры можно построить (назначив одной команде нужные результаты и назначив прочим матчам случайные).

б)  Две команды за один матч получают вместе либо $3 плюс 0=3,$ либо $1 плюс 1=2$ очка, поэтому за 45 матчей общая сумма очков составит от $45 умножить на 2=90$ до $45 умножить на 3=135.$ Между этими числами лишь одно кратно 60  — это 120. Если вничью завершилось x матчей (а $45 минус x$ завершились победой одной из команд), то команды в сумме набрали $3 левая круглая скобка 45 минус x правая круглая скобка плюс 2x=120$ очков, откуда $x=15.$

в)  Ясно, что есть не более одной команды, сыгравшей вничью 9 раз. Далее, есть не более двух команд, сыгравших вничью 8 раз  — если их хотя бы три, то у двух из них результат единственной не ничейной партии одинаков. Тогда между собой они не могли сыграть вничью (очков поровну), но и результативно не могли. Значит, общее количество ничьих не превосходит

$дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка 9 плюс 2 умножить на 8 плюс 6 умножить на 7 плюс 6 правая круглая скобка = целая часть: 36, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 2 ,$

поэтому оно не более 36.

Приведем пример для 36 ничьих. Пусть выигрышами первой упомянутой в паре команды завершились матчи 2  — 3, 3  — 4, 4  — 2, 5  — 10, 7  — 8, 7  — 10, 9  — 6, 9  — 8, 9  — 10, а остальные закончились вничью. Тогда у второй, третьей и четвертой команд по 10 очков и между ними нет ничьих, а результаты прочих команд не повторяются (первая  — 9 очков, пятая  — 11, шестая  — 8, далее 13, 7, 15 и 6).

Ответ: а)  2, 5; б)  15; в)  36.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	667896	а)  2, 5; б)  15; в)  36.

Ключ