Ре­ше­ние. а)  Пусть N  — се­ре­ди­на AC, T  — се­ре­ди­на AB. Тогда пря­мая PN па­рал­лель­на пря­мой TC как сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ATC. Пря­мая CT пер­пен­ди­ку­ляр­ная пря­мой MN, по­сколь­ку пря­мые CT и AB пер­пен­ди­ку­ляр­ны, а пря­мые AB и MN па­рал­лель­ны. Зна­чит, пря­мая  PN пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой  MN, тогда, по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах, пря­мые PQ и MN пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Пусть плос­кость α пе­ре­се­ка­ет AC в точке N₁. Тогда пря­мая MN₁ пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой PQ, и по­то­му точки N и N₁ сов­па­да­ют. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Рас­смот­рим се­че­ние приз­мы плос­ко­стью CC₁T. Пусть точка O  — се­ре­ди­на TC, точка O₁  — се­ре­ди­на T₁C₁, R  — точка пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти α и пря­мой C₁T₁. Кроме того, пусть ВC  =  7x, AB  =  TT₁  =  2x, тогда Сле­до­ва­тель­но,

Тогда Имеем:

За­ме­тим, что и от­ре­зок A₁C₁ по­де­лит­ся плос­ко­стью α в том же от­но­ше­нии.

Ответ: б)  1 : 2.