Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два различных решения.
Решение. Каждое решение уравнения
либо является решением уравнения 
откуда 
либо является решением системы:
откуда 
при условии 
Для каждого из этих случаев подставим 
и найдём количество корней получившегося уравнения в зависимости от a.
Первый случай: 
откуда 
Второй случай: 
при условии Получаем квадратное уравнение 
Дискриминант этого уравнения равен
Значит, уравнение 
имеет два корня при 
имеет единственный корень x = 4 при 
и не имеет корней при 
При 
функция 
принимает наименьшее значение при x = 4, и это значение отрицательно. Следовательно, больший корень уравнения 
удовлетворяет условию 
тогда и только тогда, когда 
откуда 
Аналогично меньший корень уравнения 
удовлетворяет условию тогда и только тогда, когда 
откуда 
Число 
является корнем квадратного уравнения при
откуда
то есть при a = 3 и при 
Таким образом, исходная система уравнений имеет ровно два различных решения при 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только исключением/включением точки a = −9 и/или a = 3 | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен промежуток (−9; 3) множества значений a, возможно, с включением граничных точек ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения | 2 |
| Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения параболы и прямых (аналитически или графически) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |