PDF-версии: 
Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
а) Докажите, что 
б) Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треугольника ABC, до стороны BC, если B1C1 = 6 и 
Решение. а) Проведем высоту AA1. Четырехугольник BC1B1C вписанный, поскольку углы BC1C и CB1B прямые, поэтому углы BB1C1 и BCC1 равны как опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BCC1 и ABC и BAH и ABC в сумме дают 90°, следовательно, углы BAH и BCC1 равны, то есть равны углы BAH и BB1C1. Что и требовалось доказать.
б) Основания высот и третья вершина треугольника образуют треугольник, подобный данному с коэффициентом, равным модулю косинуса их общего угла, поэтому
По обобщенной теореме синусов:
Пусть OM — расстояние от центра описанной вокруг треугольника ABC окружности до стороны BC. OM лежит на серединном перпендикуляре к BC. Тогда из треугольника по теореме Пифагора MOC найдем OM:
Ответ:б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |