PDF-версии: 
В правильной треугольной пирамиде SABC стороны основания ABC равны 12, а боковые ребра — 25. На ребрах AB, AC и SA отмечены точки F, E и K соответственно. Известно, что AE = AF = 10, AK = 15.
а) Докажите, что объем пирамиды KAEF составляет 
от объема пирамиды SABC.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью KEF.
Решение. а) Пусть точка M — середина ребра ВС, точка O — центр основания, L — проекция точки K на отрезке AO. Заметим, что треугольники AEF и ABC подобны. При этом коэффициент подобия
следовательно,
Прямоугольные треугольники KLA и SOA тоже подобны, с коэффициентом подобия 
следовательно, 
Тогда
б) Треугольники AKE и AKF равны, поэтому сечением пирамиды будет являться равнобедренный треугольник KEF. Пусть H — точка пересечения EF и отрезок AM — середина EF. Тогда отрезок KH — высота треугольника KEF. Из п. а) следует, что
Откуда
Таким образом, площадь треугольника KEF равна
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |