PDF-версии: 
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все ребра равны. Через середины ребер AB и CC1 проведена плоскость α. Тангенс угла наклона плоскости α к основанию равен 
а) Докажите, что плоскость α делит одно из ребер основания A1B1C1 пополам.
б) Найдите отношение объемов, на которые плоскость α делит призму ABCA1B1C1.
Решение. а) Без ограничения общности пусть плоскость α пересекает ребро A1C1 в его середине — в точке K. Докажем, что тангенс угла между плоскостями
Пусть прямая KN пересекает продолжения сторон AA1 и AC в точках R и Q соответственно. Проведем прямые RM и QM, пусть они пересекают ребра A1B1 и BC в точках P и T соответственно. Пусть все ребра призмы
Тогда 
Найдем длину отрезка MQ по теореме косинусов:
откуда 
Посчитаем площадь треугольника AMQ двумя способами:
Найдем тангенс угла AHR:
что и требовалось доказать.
б) Знаем, что 
Пусть V1 и V2 — объемы многоугольников A1KNTMA и KC1NTBMP соответственно. Тогда:
Пирамиды подобны с коэффициентом 
поэтому 
По теореме Менелая 
то есть 
так как 
то 
потому
Тогда
Таким образом, получаем, что
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |