РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 18 № 658811 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 464

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Задача с параметром. Аналитическое решение уравнений и неравенств

Определите все значения параметра a, при которых уравнение

$4 x в квадрате минус 8 |x| плюс левая круглая скобка 2 a плюс |x| плюс x правая круглая скобка в квадрате = 4$

имеет ровно два различных корня.

Решение. Рассмотрим два случая раскрытия модуля. Для $x меньше 0$ получаем:

$4x в квадрате плюс 8x плюс 4a в квадрате =4 равносильно x в квадрате плюс 2x плюс a в квадрате =1 равносильно левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате = 2 минус a в квадрате равносильно совокупность выражений x = корень из: начало аргумента: 2 минус a в квадрате конец аргумента минус 1, x = минус корень из: начало аргумента: 2 минус a в квадрате конец аргумента минус 1. конец совокупности .$ $4x в квадрате плюс 8x плюс 4a в квадрате =4 равносильно x в квадрате плюс 2x плюс a в квадрате =1 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате = 2 минус a в квадрате равносильно совокупность выражений x = корень из: начало аргумента: 2 минус a в квадрате конец аргумента минус 1, x = минус корень из: начало аргумента: 2 минус a в квадрате конец аргумента минус 1. конец совокупности .$

Найденные корни существуют и различны, если $минус корень из 2 меньше a меньше корень из 2 .$ Меньший корень отрицателен при всех таких а, и потому оба найденных корня отрицательны, если

$корень из: начало аргумента: 2 минус a в квадрате конец аргумента минус 1 меньше 0 равносильно 0 меньше 2 минус a в квадрате меньше 1 равносильно 1 меньше a в квадрате меньше 2 равносильно совокупность выражений минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента меньше a меньше минус 1, 1 меньше a меньше корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента . конец совокупности .$

При $a = \pm корень из 2$ уравнение имеет единственный корень $x = минус 1.$ Если $корень из: начало аргумента: 2 минус a в квадрате конец аргумента минус 1 больше 0,$ то есть если $минус 1 меньше a меньше 1,$ уравнение имеет единственный отрицательный корень. При $a = \pm 1$ уравнение имеет корень $x= минус 2$ и посторонний корень $x=0.$

Для $x больше или равно 0$ получаем:

$4x в квадрате минус 8x плюс левая круглая скобка 2a плюс 2x правая круглая скобка в квадрате =4 равносильно x в квадрате минус 2x плюс a в квадрате плюс 2ax плюс x в квадрате =1 равносильно 2x в квадрате минус 2x левая круглая скобка 1 минус a правая круглая скобка плюс a в квадрате минус 1 = 0.$ $4x в квадрате минус 8x плюс левая круглая скобка 2a плюс 2x правая круглая скобка в квадрате =4 равносильно x в квадрате минус 2x плюс a в квадрате плюс 2ax плюс x в квадрате =1 равносильно$
$равносильно 2x в квадрате минус 2x левая круглая скобка 1 минус a правая круглая скобка плюс a в квадрате минус 1 = 0.$ $4x в квадрате минус 8x плюс левая круглая скобка 2a плюс 2x правая круглая скобка в квадрате =4 равносильно$
$равносильно x в квадрате минус 2x плюс a в квадрате плюс 2ax плюс x в квадрате =1 равносильно$
$равносильно 2x в квадрате минус 2x левая круглая скобка 1 минус a правая круглая скобка плюс a в квадрате минус 1 = 0.$

Дискриминант этого уравнения равен $минус a в квадрате минус 2a плюс 3.$ При $a=1$ уравнение имеет единственный корень $x=0,$ при $a= минус 3$ уравнение имеет единственный корень $x=2.$ Квадратное уравнение имеет два корня положительных корня, если

$левая фигурная скобка \beginarrayl минус 3 меньше a меньше 1 1 минус a больше 0 a в квадрате минус 1 больше 0\endarray. равносильно минус 3 меньше a меньше минус 1.$

Квадратное уравнение имеет один положительный корень и один корень, равный нулю, если

$левая фигурная скобка \beginarrayl минус 3 меньше a меньше 1 1 минус a меньше 0 a в квадрате минус 1 = 0\endarray. равносильно a = минус 1.$

Квадратное уравнение имеет два корня разных знаков, если $a в квадрате минус 1 меньше 0,$ то есть если $минус 1 меньше a меньше 1.$

Изобразим количество корней для каждого случая раскрытия модулей на рисунке. Из рисунка видно, что исходное уравнение имеет ровно два различных корня при $a принадлежит левая круглая скобка минус 3; минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 1; корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка .$

Ответ: $левая круглая скобка минус 3; минус корень из 2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 1; корень из 2 правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	4
С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет	3
С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений	2
В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

658811

$левая круглая скобка минус 3; минус корень из 2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 1; корень из 2 правая круглая скобка .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 464

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	658811	$левая круглая скобка минус 3; минус корень из 2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 1; корень из 2 правая круглая скобка .$