РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 658808 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 464

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Метод интервалов, Домножение на знаменатель с учётом ОДЗ, Разложение на множители

Неравенства. Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Решите неравенство: $дробь: числитель: логарифм по основанию 7 x умножить на левая круглая скобка 2 минус логарифм по основанию 4 x правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 4 x конец дроби больше или равно логарифм по основанию x дробь: числитель: x, знаменатель: 4 конец дроби плюс логарифм по основанию 7 x.$

Решение. Область определения неравенства задается системой соотношений $x больше 0,$ $x не равно 1.$ При $x больше 1$ знаменатель дроби, стоящей в левой части неравенства, положителен, а потому на него можно умножить, не меняя знака неравенства. Получим:

$логарифм по основанию 7 x левая круглая скобка 2 минус логарифм по основанию 4 x правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию 4 x левая круглая скобка логарифм по основанию x дробь: числитель: x, знаменатель: 4 конец дроби плюс логарифм по основанию 7 x правая круглая скобка .$

Преобразуем правую часть:

$логарифм по основанию 4 x левая круглая скобка логарифм по основанию x дробь: числитель: x, знаменатель: 4 конец дроби плюс логарифм по основанию 7 x правая круглая скобка = логарифм по основанию 4 x левая круглая скобка логарифм по основанию x x минус логарифм по основанию x 4 плюс логарифм по основанию 7 x правая круглая скобка = логарифм по основанию 4 x минус 1 плюс логарифм по основанию x 4 логарифм по основанию 7 x.$ $логарифм по основанию 4 x левая круглая скобка логарифм по основанию x дробь: числитель: x, знаменатель: 4 конец дроби плюс логарифм по основанию 7 x правая круглая скобка = логарифм по основанию 4 x левая круглая скобка логарифм по основанию x x минус логарифм по основанию x 4 плюс логарифм по основанию 7 x правая круглая скобка =$
$= логарифм по основанию 4 x минус 1 плюс логарифм по основанию x 4 логарифм по основанию 7 x.$ $логарифм по основанию 4 x левая круглая скобка логарифм по основанию x дробь: числитель: x, знаменатель: 4 конец дроби плюс логарифм по основанию 7 x правая круглая скобка =$
$= логарифм по основанию 4 x левая круглая скобка логарифм по основанию x x минус логарифм по основанию x 4 плюс логарифм по основанию 7 x правая круглая скобка =$
$= логарифм по основанию 4 x минус 1 плюс логарифм по основанию x 4 логарифм по основанию 7 x.$

Тогда

$2 логарифм по основанию 7 x минус логарифм по основанию 7 x логарифм по основанию 4 x больше или равно логарифм по основанию 4 x минус 1 плюс логарифм по основанию x 4 логарифм по основанию 7 x равносильно 2 логарифм по основанию 7 x минус 2 логарифм по основанию 7 x логарифм по основанию 4 x плюс левая круглая скобка 1 минус логарифм по основанию 4 x правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 2 логарифм по основанию 7 x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус логарифм по основанию 4 x правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби корень из 7 меньше или равно x меньше или равно 4.$ $2 логарифм по основанию 7 x минус логарифм по основанию 7 x логарифм по основанию 4 x больше или равно логарифм по основанию 4 x минус 1 плюс логарифм по основанию x 4 логарифм по основанию 7 x равносильно$
$равносильно 2 логарифм по основанию 7 x минус 2 логарифм по основанию 7 x логарифм по основанию 4 x плюс левая круглая скобка 1 минус логарифм по основанию 4 x правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 2 логарифм по основанию 7 x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус логарифм по основанию 4 x правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби корень из 7 меньше или равно x меньше или равно 4.$

На рассматриваемом промежутке $x больше 1,$ поэтому $1 меньше x меньше или равно 4.$

При $0 меньше x меньше 1$ знаменатель дроби отрицателен, а значит, знак неравенства меняется. Находим:

$левая круглая скобка 2 логарифм по основанию 7 x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус логарифм по основанию 4 x правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно совокупность выражений x меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби корень из 7 , x больше или равно 4. конец совокупности .$

Промежутку $0 меньше x меньше 1$ принадлежат решения $0 меньше x меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби корень из 7 .$

Объединяя найденные решения, получаем ответ: $0 меньше x меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби корень из 7$ или $1 меньше x меньше или равно 4.$

Ответ: $левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби корень из 7 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 1; 4 правая квадратная скобка .$

Приведём другое решение.

Преобразуем неравенство:

$дробь: числитель: логарифм по основанию 7 x умножить на левая круглая скобка 2 минус логарифм по основанию 4 x правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 4 x конец дроби больше или равно логарифм по основанию x дробь: числитель: x, знаменатель: 4 конец дроби плюс логарифм по основанию 7 x равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 7 x умножить на левая круглая скобка 2 минус логарифм по основанию 4 x правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 4 x конец дроби больше или равно 1 минус логарифм по основанию x 4 плюс логарифм по основанию 7 x равносильно$
$равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 7 x умножить на левая круглая скобка 2 минус логарифм по основанию 4 x правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 4 x конец дроби больше или равно 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 4 x конец дроби плюс логарифм по основанию 7 x равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 2 логарифм по основанию 7 x минус 2 логарифм по основанию 7 x умножить на логарифм по основанию 4 x минус логарифм по основанию 4 x плюс 1, знаменатель: логарифм по основанию 4 x конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: 2 логарифм по основанию 7 x левая круглая скобка 1 минус логарифм по основанию 4 x правая круглая скобка плюс 1 минус логарифм по основанию 4 x, знаменатель: логарифм по основанию 4 x конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 1 минус логарифм по основанию 4 x правая круглая скобка левая круглая скобка 2 логарифм по основанию 7 x плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 4 x конец дроби больше или равно 0 равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби корень из 7 правая круглая скобка , знаменатель: x минус 1 конец дроби больше или равно 0, x больше 0 конец системы . равносильно совокупность выражений 0 меньше x меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби корень из 7 , 1 меньше x меньше или равно 4. конец совокупности .$ $дробь: числитель: логарифм по основанию 7 x умножить на левая круглая скобка 2 минус логарифм по основанию 4 x правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 4 x конец дроби больше или равно логарифм по основанию x дробь: числитель: x, знаменатель: 4 конец дроби плюс логарифм по основанию 7 x равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 7 x умножить на левая круглая скобка 2 минус логарифм по основанию 4 x правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 4 x конец дроби больше или равно 1 минус логарифм по основанию x 4 плюс логарифм по основанию 7 x равносильно$
$равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 7 x умножить на левая круглая скобка 2 минус логарифм по основанию 4 x правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 4 x конец дроби больше или равно 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 4 x конец дроби плюс логарифм по основанию 7 x равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 2 логарифм по основанию 7 x минус 2 логарифм по основанию 7 x умножить на логарифм по основанию 4 x минус логарифм по основанию 4 x плюс 1, знаменатель: логарифм по основанию 4 x конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 2 логарифм по основанию 7 x левая круглая скобка 1 минус логарифм по основанию 4 x правая круглая скобка плюс 1 минус логарифм по основанию 4 x, знаменатель: логарифм по основанию 4 x конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 1 минус логарифм по основанию 4 x правая круглая скобка левая круглая скобка 2 логарифм по основанию 7 x плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 4 x конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби корень из 7 правая круглая скобка , знаменатель: x минус 1 конец дроби больше или равно 0, x больше 0 конец системы . равносильно совокупность выражений 0 меньше x меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби корень из 7 , 1 меньше x меньше или равно 4. конец совокупности .$ $дробь: числитель: логарифм по основанию 7 x умножить на левая круглая скобка 2 минус логарифм по основанию 4 x правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 4 x конец дроби больше или равно логарифм по основанию x дробь: числитель: x, знаменатель: 4 конец дроби плюс логарифм по основанию 7 x равносильно$
$равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 7 x умножить на левая круглая скобка 2 минус логарифм по основанию 4 x правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 4 x конец дроби больше или равно 1 минус логарифм по основанию x 4 плюс логарифм по основанию 7 x равносильно$
$равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 7 x умножить на левая круглая скобка 2 минус логарифм по основанию 4 x правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 4 x конец дроби больше или равно 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 4 x конец дроби плюс логарифм по основанию 7 x равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 2 логарифм по основанию 7 x минус 2 логарифм по основанию 7 x умножить на логарифм по основанию 4 x минус логарифм по основанию 4 x плюс 1, знаменатель: логарифм по основанию 4 x конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 2 логарифм по основанию 7 x левая круглая скобка 1 минус логарифм по основанию 4 x правая круглая скобка плюс 1 минус логарифм по основанию 4 x, знаменатель: логарифм по основанию 4 x конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 1 минус логарифм по основанию 4 x правая круглая скобка левая круглая скобка 2 логарифм по основанию 7 x плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 4 x конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби корень из 7 правая круглая скобка , знаменатель: x минус 1 конец дроби больше или равно 0, x больше 0 конец системы . равносильно совокупность выражений 0 меньше x меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби корень из 7 , 1 меньше x меньше или равно 4. конец совокупности .$ $дробь: числитель: логарифм по основанию 7 x умножить на левая круглая скобка 2 минус логарифм по основанию 4 x правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 4 x конец дроби больше или равно логарифм по основанию x дробь: числитель: x, знаменатель: 4 конец дроби плюс логарифм по основанию 7 x равносильно$
$равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 7 x умножить на левая круглая скобка 2 минус логарифм по основанию 4 x правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 4 x конец дроби больше или равно 1 минус логарифм по основанию x 4 плюс логарифм по основанию 7 x равносильно$
$равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 7 x умножить на левая круглая скобка 2 минус логарифм по основанию 4 x правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 4 x конец дроби больше или равно 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 4 x конец дроби плюс логарифм по основанию 7 x равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 2 логарифм по основанию 7 x минус 2 логарифм по основанию 7 x умножить на логарифм по основанию 4 x минус логарифм по основанию 4 x плюс 1, знаменатель: логарифм по основанию 4 x конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 2 логарифм по основанию 7 x левая круглая скобка 1 минус логарифм по основанию 4 x правая круглая скобка плюс 1 минус логарифм по основанию 4 x, знаменатель: логарифм по основанию 4 x конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 1 минус логарифм по основанию 4 x правая круглая скобка левая круглая скобка 2 логарифм по основанию 7 x плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 4 x конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби корень из 7 правая круглая скобка , знаменатель: x минус 1 конец дроби больше или равно 0, x больше 0 конец системы . равносильно совокупность выражений 0 меньше x меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби корень из 7 , 1 меньше x меньше или равно 4. конец совокупности .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Ответ: $левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби корень из 7 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 1; 4 правая квадратная скобка .$ $левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби корень из 7 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 1; 4 правая квадратная скобка .$

658808

$левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби корень из 7 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 1; 4 правая квадратная скобка .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 464

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Метод интервалов, Домножение на знаменатель с учётом ОДЗ, Разложение на множители

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	658808	$левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби корень из 7 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 1; 4 правая квадратная скобка .$