PDF-версии: 
Отрезок AA1 — высота остроугольного треугольника ABC, H — точка пересечения его высот, М — середина стороны ВС.
а) Докажите, что 
б) Найдите длину отрезка АН, если 
и 
Решение. а) Пусть BB1 — высота треугольника ABC. Тогда подобны пары треугольников: AHB1 и ACA1, BHA1 и BCB1. Из этих подобий и теоремы Пифагора следуют две цепочки равенств:
откуда 
Что и требовалось доказать.
б) По формуле длины медианы для треугольника ABC получим, что
откуда
По формуле Герона находим:
Следовательно, 
то есть 
Используя результат пункта a), получаем, что
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |