Ре­ше­ние. а)  В плос­ко­сти AA₁C₁ через точку M про­ве­дем пря­мую MN, где N  — точка ее пе­ре­се­че­ния с пря­мой A₁C₁. Пусть K и P  — точки пе­ре­се­че­ния пря­мой B₁N с пря­мы­ми C₁D₁ и A₁D₁, со­от­вет­ствен­но, L  — точка пе­ре­се­че­ния пря­мой MP с реб­ром DD₁. Тогда B₁KLM  — се­че­ние куба плос­ко­стью α. За­ме­тим, что тре­уголь­ни­ки A₁MN и A₁AC₁, а также NB₁C₁ и NPA₁  — по­доб­ны. Тогда

Тре­уголь­ни­ки PLD₁ и PMA₁  — по­доб­ны, сле­до­ва­тель­но,

б)  Вы­чис­лим объем V₁ мень­шей части куба. Он равен раз­но­сти объ­е­мов двух тре­уголь­ных пи­ра­мид PMB₁A₁ и PLKD₁, при­чем эти пи­ра­ми­ды по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том по­до­бия На­хо­дим:

Тогда объем остав­шей­ся части куба

Ответ: б)