Дано трёхзначное число А, сумма цифр которого равна S.
а) Может ли выполняться равенство A · S = 1057?
б) Может ли выполняться равенство A · S = 1058?
в) Какое наименьшее значение может принимать выражение A · S, если оно больше 864?
a) Сумма цифр числа 151 равна 7. Таким образом, произведение этого числа и суммы его цифр равно 1057.
б) Заметим, что сумма цифр числа имеет такой же остаток при делении на 3, как и само число. Следовательно, если число A делится на 3, то 
делится на 3. Если число A не делится на 3, то даёт остаток 1 при делении на 3. Число 1058 даёт остаток 2 при делении на 3, значит, оно не может быть равно произведению 
в) Заметим, что сумма цифр числа имеет такой же остаток при делении на 9, как и само число. Следовательно, даёт такой же остаток при делении на 9, как и 
Пусть 
где 
Тогда
на 9 совпадает с остатком от деления 
на 9. Этот остаток может быть равен 0; 1; 4 или 7 , поскольку принимает значения 0; 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64. Таким образом, остаток от деления произведения на 9 может быть равен 0; 1; 4 или 7.Будем последовательно рассматривать числа, большие 864, для которых остаток от деления на 9 равен 0 ; 1 ; 4 или 7.
Число 865 даёт остаток 1 при делении на 9. Это число раскладывается в произведение простых множителей следующим образом: 
а значит, его можно представить в виде произведения трёхзначного числа на какое-то другое число только следующим способом:
В этом случае первый множитель не равен сумме цифр второго множителя. Число 868 даёт остаток 4 при делении на 9. Это число раскладывается в произведение простых множителей следующим образом: 
а, значит, его можно представить в виде произведения трёхзначного числа на какое-то другое число следующими способами:
Сумма цифр трёхзначного числа 
равна 7. Следовательно, для этого числа 
Таким образом, наименьшее значение произведения 
большее 864, равно 868.
Ответ: а) да; б) нет; в) 868.