Дано трёхзначное число А, сумма цифр которого равна S.
а) Может ли выполняться равенство A · S = 1105?
б) Может ли выполняться равенство A · S = 1106?
в) Какое наименьшее значение может принимать выражение A · S, если оно больше 3978?
a) Сумма цифр числа 221 равна 5. Таким образом, произведение этого числа и суммы его цифр равно 1105.
б) Заметим, что сумма цифр числа имеет такой же остаток при делении на 3, как и само число. Следовательно, если число A делится на 3 , то 
делится на 3. Если число A не делится на 3 , то даёт остаток 1 при делении на 3. Число 1106 даёт остаток 2 при делении на 3, значит, оно не может быть равно произведению 
в) Заметим, что сумма цифр числа имеет такой же остаток при делении на 9 , как и само число. Следовательно, даёт такой же остаток при делении на 9, как и 
Пусть 
где 
Тогда
на 9 совпадает с остатком от деления 
на 9 . Этот остаток может быть равен 0; 1; 4 или 7 , поскольку 
принимает значения 0; 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64. Таким образом, остаток от деления произведения на 9 может быть равен 0; 1; 4 или 7.Будем последовательно рассматривать числа, большие 3978, для которых остаток от деления на 9 равен 0; 1; 4 или 7.
Число 3979 даёт остаток 1 при делении на 9. Это число раскладывается в произведение простых множителей следующим образом: 
а, значит, его можно представить в виде произведения трёхзначного числа на какое-то другое число только следующим способом:
В этом случае первый множитель не равен сумме цифр второго множителя. Число 3982 даёт остаток 4 при делении на 9. Это число раскладывается в произведение простых множителей следующим образом: 
а значит, его можно представить в виде произведения трёхзначного числа на какое-то другое число следующими способами:
Сумма цифр трёхзначного числа 
равна 11. Следовательно, для этого числа 
Таким образом, наименьшее значение произведения 
большее 3978, равно 3982.
Ответ: а) да; б) нет; в) 3982.