РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 646759 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 439

Классификатор алгебры: Логарифмические неравенства

Неравенства. Логарифмические неравенства, разные задачи

Решите неравенство: $логарифм по основанию 2 x умножить на логарифм по основанию 3 x минус 2 логарифм по основанию 2 x минус 3 логарифм по основанию 3 x больше или равно минус 6.$

Решение. Приведем логарифмы к одному основанию, получим равносильное неравенство:

$логарифм по основанию 2 x умножить на дробь: числитель: логарифм по основанию 2 x , знаменатель: логарифм по основанию 2 3 конец дроби минус 2 логарифм по основанию 2 x минус 3 умножить на дробь: числитель: логарифм по основанию 2 x , знаменатель: логарифм по основанию 2 3 конец дроби больше или равно минус 6 равносильно \log в квадрате _2x минус левая круглая скобка 3 плюс 2 логарифм по основанию 2 3 правая круглая скобка логарифм по основанию 2 x плюс 6 логарифм по основанию 2 3 больше или равно 0.$ $логарифм по основанию 2 x умножить на дробь: числитель: логарифм по основанию 2 x , знаменатель: логарифм по основанию 2 3 конец дроби минус 2 логарифм по основанию 2 x минус 3 умножить на дробь: числитель: логарифм по основанию 2 x , знаменатель: логарифм по основанию 2 3 конец дроби больше или равно минус 6 равносильно$
$равносильно \log в квадрате _2x минус левая круглая скобка 3 плюс 2 логарифм по основанию 2 3 правая круглая скобка логарифм по основанию 2 x плюс 6 логарифм по основанию 2 3 больше или равно 0.$

Положим, $t = логарифм по основанию 2 x.$ По теореме, обратной теореме Виета, уравнение

$t в квадрате минус левая круглая скобка 3 плюс 2 логарифм по основанию 2 3 правая круглая скобка t плюс 3 умножить на 2 логарифм по основанию 2 3 = 0$

имеет корни $t = 3$ и $t = 2 логарифм по основанию 2 3,$ откуда, учитывая, что $2 логарифм по основанию 2 3 = логарифм по основанию 2 9 больше 3,$ получаем:

$t в квадрате минус левая круглая скобка 3 плюс 2 логарифм по основанию 2 3 правая круглая скобка t плюс 3 умножить на 2 логарифм по основанию 2 3 больше или равно 0 равносильно левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус логарифм по основанию 2 9 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно совокупность выражений t меньше или равно 3,t больше или равно логарифм по основанию 2 9. конец совокупности .$ $t в квадрате минус левая круглая скобка 3 плюс 2 логарифм по основанию 2 3 правая круглая скобка t плюс 3 умножить на 2 логарифм по основанию 2 3 больше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус логарифм по основанию 2 9 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно совокупность выражений t меньше или равно 3,t больше или равно логарифм по основанию 2 9. конец совокупности .$

Вернемся к исходной переменной, находим:

$совокупность выражений логарифм по основанию 2 x меньше или равно 3, логарифм по основанию 2 x больше или равно логарифм по основанию 2 9 конец совокупности . равносильно совокупность выражений логарифм по основанию 2 x меньше или равно логарифм по основанию 2 8, логарифм по основанию 2 x больше или равно логарифм по основанию 2 9 конец совокупности . равносильно совокупность выражений 0 меньше x меньше или равно 8,x больше или равно 9. конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка 0; 8 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 9; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Приведём другое решение:

Разложим на множители, сгруппировав слагаемые, и применим метод рационализации:

$логарифм по основанию 2 x умножить на логарифм по основанию 3 x минус 2 логарифм по основанию 2 x минус 3 логарифм по основанию 3 x больше или равно минус 6 равносильно логарифм по основанию 2 x умножить на логарифм по основанию 3 x минус 2 логарифм по основанию 2 x минус 3 логарифм по основанию 3 x плюс 6 больше или равно 0 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 2 x левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x минус 2 правая круглая скобка минус 3 левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x минус 2 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x минус 2 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x минус логарифм по основанию 2 8 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x минус логарифм по основанию 3 9 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно система выражений левая круглая скобка x минус 8 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 9 правая круглая скобка больше или равно 0, x больше 0 конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений x меньше или равно 8, x больше или равно 9, конец системы . x больше 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений 0 меньше x меньше или равно 8,x больше или равно 9. конец совокупности .$ $логарифм по основанию 2 x умножить на логарифм по основанию 3 x минус 2 логарифм по основанию 2 x минус 3 логарифм по основанию 3 x больше или равно минус 6 равносильно логарифм по основанию 2 x умножить на логарифм по основанию 3 x минус 2 логарифм по основанию 2 x минус 3 логарифм по основанию 3 x плюс 6 больше или равно 0 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 2 x левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x минус 2 правая круглая скобка минус 3 левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x минус 2 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x минус 2 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x минус логарифм по основанию 2 8 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x минус логарифм по основанию 3 9 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка x минус 8 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 9 правая круглая скобка больше или равно 0, x больше 0 конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений x меньше или равно 8, x больше или равно 9, конец системы . x больше 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений 0 меньше x меньше или равно 8,x больше или равно 9. конец совокупности .$ $логарифм по основанию 2 x умножить на логарифм по основанию 3 x минус 2 логарифм по основанию 2 x минус 3 логарифм по основанию 3 x больше или равно минус 6 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 2 x умножить на логарифм по основанию 3 x минус 2 логарифм по основанию 2 x минус 3 логарифм по основанию 3 x плюс 6 больше или равно 0 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 2 x левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x минус 2 правая круглая скобка минус 3 левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x минус 2 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x минус 2 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x минус логарифм по основанию 2 8 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x минус логарифм по основанию 3 9 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка x минус 8 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 9 правая круглая скобка больше или равно 0, x больше 0 конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений x меньше или равно 8, x больше или равно 9, конец системы . x больше 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений 0 меньше x меньше или равно 8,x больше или равно 9. конец совокупности .$ $логарифм по основанию 2 x умножить на логарифм по основанию 3 x минус 2 логарифм по основанию 2 x минус 3 логарифм по основанию 3 x больше или равно минус 6 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 2 x умножить на логарифм по основанию 3 x минус 2 логарифм по основанию 2 x минус 3 логарифм по основанию 3 x плюс 6 больше или равно 0 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 2 x левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x минус 2 правая круглая скобка минус 3 левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x минус 2 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x минус 2 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x минус логарифм по основанию 2 8 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x минус логарифм по основанию 3 9 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно система выражений левая круглая скобка x минус 8 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 9 правая круглая скобка больше или равно 0, x больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений x меньше или равно 8, x больше или равно 9, конец системы . x больше 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений 0 меньше x меньше или равно 8,x больше или равно 9. конец совокупности .$ $логарифм по основанию 2 x умножить на логарифм по основанию 3 x минус 2 логарифм по основанию 2 x минус 3 логарифм по основанию 3 x больше или равно минус 6 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 2 x умножить на логарифм по основанию 3 x минус 2 логарифм по основанию 2 x минус 3 логарифм по основанию 3 x плюс 6 больше или равно 0 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 2 x левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x минус 2 правая круглая скобка минус 3 левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x минус 2 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x минус 2 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x минус логарифм по основанию 2 8 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x минус логарифм по основанию 3 9 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка x минус 8 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 9 правая круглая скобка больше или равно 0, x больше 0 конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений x меньше или равно 8, x больше или равно 9, конец системы . x больше 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений 0 меньше x меньше или равно 8,x больше или равно 9. конец совокупности .$ $логарифм по основанию 2 x умножить на логарифм по основанию 3 x минус 2 логарифм по основанию 2 x минус 3 логарифм по основанию 3 x больше или равно минус 6 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 2 x умножить на логарифм по основанию 3 x минус 2 логарифм по основанию 2 x минус 3 логарифм по основанию 3 x плюс 6 больше или равно 0 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 2 x левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x минус 2 правая круглая скобка минус 3 левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x минус 2 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x минус 2 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x минус логарифм по основанию 2 8 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x минус логарифм по основанию 3 9 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка x минус 8 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 9 правая круглая скобка больше или равно 0, x больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений x меньше или равно 8, x больше или равно 9, конец системы . x больше 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений 0 меньше x меньше или равно 8,x больше или равно 9. конец совокупности .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Ответ: $левая круглая скобка 0; 8 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 9; плюс бесконечность правая круглая скобка .$ $левая круглая скобка 0; 8 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 9; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

646759

$левая круглая скобка 0; 8 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 9; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 439

Классификатор алгебры: Логарифмические неравенства

Методы алгебры: Замена переменной

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	646759	$левая круглая скобка 0; 8 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 9; плюс бесконечность правая круглая скобка .$