РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Делитель d натурального числа n будем называть специальным, если числа d и $f= дробь: числитель: n, знаменатель: d конец дроби$ взаимно простые. Очевидно, что f также является специальным делителем и $d не равно q f$ при $n больше 1.$ При n  =  1 есть единственный делитель d  =  1. и хотя $f= дробь: числитель: n, знаменатель: d конец дроби =1=d,$ будем считать d  =  1 специальным делителем, так как d и f взаимно простые числа.

а)  Сколько последовательных натуральных чисел могут иметь только специальные делители?

б)  Для каких чисел n сумма всех специальных делителей нечетная?

в)  Найдите все числа $n меньше или равно 100,$ у которых количество всех делителей в 3 раза больше, чем количество специальных делителей.

Решение. Все делители натурального числа устроены так: нужно разложить число на простые множители, выбрать из них только некоторые и перемножить. Для специальности делителя нужно также, чтобы все копии одного и того же простого множителя либо были взяты, либо наоборот не были взяты.

а)  Если хоть одно простое число входит в разложение данного не в первой степени, можно взять одним делителем это простое, а другим  — произведение остальных простых, и они не будут специальными. Ясно, что каждое четвертое число кратно 4 и для числа 4x делитель 2 специальным не будет. Значит, чисел может быть не более трех. Числа 33, 34, 35 подходят.

б)  Если число имеет k различных нечетных простых делителей, то оно имеет 2^k нечетных специальных делителей (поскольку каждый простой делитель может войти или не войти в разложение специального делителя, причем если входит, то в максимально возможной для себя степени. Это число четно кроме случая k  =  0, то есть случая, когда число  — степень двойки. Степени двойки имеют специальные делители только себя и единицу и потому подходят, поскольку их сумма нечетна (даже для 2⁰ это так).

в)  Число вида $p_1 в степени левая круглая скобка k_1 правая круглая скобка умножить на \ldots умножить на p_x в степени левая круглая скобка k_x правая круглая скобка$ имеет 2^x специальных делителей и $левая круглая скобка k_1 плюс 1 правая круглая скобка \ldots левая круглая скобка k_x плюс 1 правая круглая скобка$ всего делителей. Любое число до 100 имеет не более трех различных простых множителей. Разберем случаи.

Если простой множитель всего один, то специальных делителей два, поэтому всех делителей должно быть шесть. Значит, число имеет вид p⁵, поэтому подходит только p  =  2 $левая круглая скобка 3 в степени 5 больше 100 правая круглая скобка .$ Итак, 32 это первое такое число..

Если простых множителя два, то специальных делителей 4, а всех делителей 12. Тогда число имеет вид $p в степени 5 q$ или $p в кубе q в квадрате .$ Первое возможно при $p=2, q=3$ (получается 96), а прочие варианты дают числа больше 100, поскольку $3 в степени 5 больше 100.$ Следовательно, p  =  2, при этом даже $2 в степени 5 умножить на 5 больше 100,$ и второе возможно при тех же p и q: $2 в кубе умножить на 3 в квадрате =72,$ а прочие варианты дают числа больше 100, поскольку $3 в кубе умножить на 2 в квадрате больше 100$ получаем что p  =  2, при этом даже $2 в кубе умножить на 5 в квадрате больше 100.$

Если простых множителя три, то специальных делителей 8, а всех делителей 24, что невозможно (все делители числа n разбиваются на пары дающих в произведении n, поэтому в каждой паре есть число, не большее $корень из: начало аргумента: n конец аргумента меньше или равно корень из: начало аргумента: 100 конец аргумента = 10,$ поэтому и пар не больше 10).

Ответ: а)  3; б)  степени двойки; в)  32, 72, 96.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	646087	а)  3; б)  степени двойки; в)  32, 72, 96.

Ключ