РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 17 № 645667 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 434

Классификатор планиметрии: Окружность, вписанная в треугольник, Окружность, описанная вокруг треугольника

Источник/автор: Артур Анищенко

Планиметрическая задача. Вписанные окружности и треугольники

На сторонах AB и AC треугольника ABC отмечены точки D и E соответственно так, что $B D плюс C E=B C,$ точка I  — центр вписанной окружности треугольника АВС.

а)  Докажите, что точки A, E, I и D лежат на одной окружности.

б)  Точка $D в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка$ симметрична точке D относительно прямой AI. Найдите радиус описанной окружности треугольника $E D D в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка ,$ если $D в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка E=2,$ а радиус вписанной окружности треугольника АВС равен $дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби .$

Решение. а)  Из условия следует, что существует точка F на стороне BC такая, что BF  =  BD, CF  =  CE. Следовательно, треугольники DBI и FBI, треугольники ECI и FCI равны по двум сторонам и углу между ними. Тогда

$\angle DIE = 360 градусов минус 2\angle FIB минус 2\angle FIC = 360 градусов минус 2 левая круглая скобка 180 градусов минус \angle IFB минус \angle FBI правая круглая скобка минус 2 левая круглая скобка 180 градусов минус \angle IFC минус \angle ICF правая круглая скобка =$
$= 360 градусов минус 360 градусов плюс 2\angle IFB плюс \angle ABC минус 360 градусов плюс 2\angle IFC плюс \angle ACB =$
$= минус 360 градусов плюс 2 левая круглая скобка \angle IFB плюс \angle IBC правая круглая скобка плюс 180 градусов минус \angle BAC = 180 градусов минус \angle BAC.$ $\angle DIE = 360 градусов минус 2\angle FIB минус 2\angle FIC =$
$= 360 градусов минус 2 левая круглая скобка 180 градусов минус \angle IFB минус \angle FBI правая круглая скобка минус 2 левая круглая скобка 180 градусов минус \angle IFC минус \angle ICF правая круглая скобка =$
$= 360 градусов минус 360 градусов плюс 2\angle IFB плюс \angle ABC минус 360 градусов плюс 2\angle IFC плюс \angle ACB =$
$= минус 360 градусов плюс 2 левая круглая скобка \angle IFB плюс \angle IBC правая круглая скобка плюс 180 градусов минус \angle BAC = 180 градусов минус \angle BAC.$ $\angle DIE = 360 градусов минус 2\angle FIB минус 2\angle FIC =$
$= 360 градусов минус 2 левая круглая скобка 180 градусов минус \angle IFB минус \angle FBI правая круглая скобка минус 2 левая круглая скобка 180 градусов минус \angle IFC минус \angle ICF правая круглая скобка =$
$= 360 градусов минус 360 градусов плюс 2\angle IFB плюс \angle ABC минус 360 градусов плюс 2\angle IFC плюс \angle ACB =$
$= минус 360 градусов плюс 2 левая круглая скобка \angle IFB плюс \angle IBC правая круглая скобка плюс 180 градусов минус \angle BAC =$
$= 180 градусов минус \angle BAC.$

Таким образом, четырехугольник ADIE вписан в окружность.

б)  Из пункта а) следует, что DI  =  IE  =  IF  =  ID'. Пусть IH  — высота треугольника ID'E. Отрезок IH  — радиус окружности, вписанной в треугольник  ABC, тогда $левая круглая скобка дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате = IE в квадрате минус 1 в квадрате ,$ откуда $IE = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 85 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$ Это и есть радиус окружности, описанной около треугольника EDD'.

Ответ: $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 85 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 85 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$

645667

$дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 85 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 434

Методы геометрии: Теорема Пифагора

Классификатор планиметрии: Окружность, вписанная в треугольник, Окружность, описанная вокруг треугольника

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	645667	$дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 85 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$