а)  Пусть пря­мая, про­хо­дя­щая через точку O па­рал­лель­но BC пе­ре­се­ка­ет пря­мую  AB в точке M и пря­мую CD в точке F. Углы MOA и OAD равны как на­крест ле­жа­щие, сле­до­ва­тель­но, угол MAO равен углу MOA, тогда AM  =  MO. Ана­ло­гич­но углы BCO и COF равны, сле­до­ва­тель­но, OF  =  CF. За­ме­тим, что AMFD  — рав­но­бо­кая тра­пе­ция, сле­до­ва­тель­но, AM  =  FD, тогда

б)  Пусть AM  =  x, BM  =  2x, угол AMO равен α, тогда Для тре­уголь­ни­ков AMO и CFO по тео­ре­ме ко­си­ну­сов:

Учи­ты­вая, что по усло­вию AO  =  OC, по­лу­ча­ем:

От­сю­да Имеем:

от­сю­да

Вы­ра­зим длину AD:

Най­дем от­но­ше­ние BC к AD:

Ответ: 1 : 7.

При­ведём ре­ше­ние Свет­ла­ны Шлыч­ко­вой (Москва).

а)  Пусть бис­сек­три­са угла A делит его на рав­ные части ве­ли­чи­ны α, а бис­сек­три­са угла C делит его на рав­ные части ве­ли­чи­ны β. За­ме­тим, что угол  D равен 2β. Тогда сумма внут­рен­них од­но­сто­рон­них углов BCD и ADC равна π, то есть Зна­чит,

Пусть также пря­мая, про­ве­ден­ная через точку O па­рал­лель­но ос­но­ва­ни­ям, пе­ре­се­ка­ет бо­ко­вую сто­ро­ну AB в точке M, а бо­ко­вую сто­ро­ну CD  — в точке M₁. Тогда углы MOA и OAD равны как внут­рен­ние на­крест ле­жа­щие при па­рал­лель­ных пря­мых, а зна­чит, угол MOA равен α. Тогда тре­уголь­ник AMO рав­но­бед­рен­ный, тогда AM  =  OM. Ана­ло­гич­но тре­уголь­ник CM₁O рав­но­бед­рен­ный и CM₁  =  OM₁.

Те­перь за­ме­тим, что тра­пе­ция ABCD рав­но­бед­рен­ная по усло­вию, по­это­му углы при ос­но­ва­нии этой тра­пе­ции равны. Тогда тра­пе­ция AMM₁D также рав­но­бед­рен­ная и тра­пе­ция MBCM₁ рав­но­бед­рен­ная. Зна­чит, CM₁  =  BM  =  OM₁. Таким об­ра­зом, ра­вен­ство AB  =  AM + MB эк­ви­ва­лент­но ра­вен­ству AB  =  MO + OM₁, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  По до­ка­зан­но­му в пунк­те а) MM₁  =  AB. Про­ве­дем через точку M₁ пря­мую па­рал­лель­но AB. Пусть такая пря­мая пе­ре­се­ка­ет про­дол­же­ние от­рез­ка BC в точке N, а от­ре­зок AD  — в точке K. Тогда ABNK  — ромб, тогда угол

Пусть тогда

а по­то­му AK  =  3x.

Те­перь пусть KD  =  y. По­сколь­ку тре­уголь­ни­ки KM₁D и NM₁C по­доб­ны по двум углам (углы CM₁N и DM ₁K равны как вер­ти­каль­ные, а углы CNM₁ и DKM₁ равны как внут­рен­ние на­крест ле­жа­щие при па­рал­лель­ных пря­мых) с ко­эф­фи­ци­ен­том по­до­бия

от­ку­да за­клю­ча­ем, что CN  =  2y. Про­ве­дем вы­со­ту и ме­ди­а­ну M₁Q в рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке CM₁N. Тогда NQ  =  CQ  =  y.

Пусть AO  =  2z  =  OC. Про­ве­дем вы­со­ты (они же ме­ди­а­ны) ML и M₁P в рав­но­бед­рен­ных тре­уголь­ни­ках AMO и OM₁C со­от­вет­ствен­но. Тогда

Вспом­ним, что Тогда тре­уголь­ни­ки MLO и OPM₁ по­доб­ны по двум углам с ко­эф­фи­ци­ен­том по­до­бия

Таким об­ра­зом, PM₁  =  2z. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра из тре­уголь­ни­ка OPM₁: Зна­чит, Тогда из тре­уголь­ни­ка MOL:

Сле­до­ва­тель­но,

по­это­му от­ку­да Тогда

Зна­чит,