PDF-версии: 
Дан треугольник ABC. Серединный перпендикуляр к стороне AB пересекается с биссектрисой угла BAC в точке K, лежащей на стороне BC.
а) Докажите, что 
б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник AKC, если 
и сторона AC = 24.
Решение. а) Пусть
тогда из равнобедренности треугольника BKA следует, что 
Значит, треугольники ACK и BCA подобны по двум углам (угол С — общий). Из подобия получаем: 
откуда 
б) Заметим, что 
Следовательно,
Тогда по теореме синусов получаем, что 
откуда KC = 15. Находим:
Высота CH треугольника CKA равна
Поэтому
Найдём радиус вписанной окружности:
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |