Ре­ше­ние. а)  Пусть плос­кость α про­хо­дит через точку L  — cере­ди­ну ребра SA  — и пе­ре­се­ка­ет ребра SB и SC в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но. За­ме­тим, что SLM и SLN  — рав­ные пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки, сле­до­ва­тель­но, LM  =  LN и SM  =  SN. По тео­ре­ме об от­но­ше­нии объ­е­мов тет­ра­эд­ров с общим трех­гран­ным углом на­хо­дим:

от­ку­да сле­до­ва­тель­но,

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра из тре­уголь­ни­ка SLM по­лу­ча­ем:

Таким об­ра­зом, тре­уголь­ник SLM  — пря­мо­уголь­ный и рав­но­бед­рен­ный, а по­то­му угол LSM равен 45°.

б)  Из п. а) сле­ду­ет, что LM  =  LN  =  SL  =  2. За­пи­шем тео­ре­му ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка SBC:

то есть Тре­уголь­ни­ки SMN и SBC по­доб­ны. Тогда

от­ку­да

В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке LMN про­ве­дем вы­со­ту LH. По­лу­ча­ем:

Таким об­ра­зом, ис­ко­мая пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью α равна

Ответ: б)