PDF-версии: 
На рёбрах AC, AD, BD и BC тетраэдра ABCD отмечены точки K, L, M и N соответственно, причём 
Четырёхугольник KLMN квадрат.
а) Докажите, что 
б) Найдите объём пирамиды CKMN, если объём тетраэдра ABCD равен 25.
Решение. a) Плоскость BCD параллельна прямой KL, поскольку содержит параллельную ей прямую MN (см. рис. верхний). Следовательно, прямые KLи
параллельны. Значит, треугольники AKL и ACD подобны, откуда получаем: 
Аналогично прямые KN и AB параллельны. Значит, треугольники KNC и ABC подобны, откуда получаем: 
Поскольку KN = KL, получаем:
б) Пусть h — высота пирамиды ABCD, проведённая из вершины A. Тогда высота пирамиды KBCD, проведённая из вершины K, равна 
поскольку 
Следовательно, объём пирамиды KBCD равен 15.
Пирамиды KBCD и CKMN имеют общую высоту, проведённую из вершины K. Сравним площади треугольников CNM и BCD (см. рис. нижний). Высоты этих треугольников, проведённые из вершин C и B соответственно, относятся как
а их стороны NM и CD относятся как
поскольку треугольники BNM и BCD подобны. Следовательно, отношение площадей треугольников CNM и BCD равно 
Значит, объём пирамиды CKMN равен 
Ответ: 6) 3,6.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |