PDF-версии: 
Рассматриваются прямоугольные треугольники, в которых длины всех сторон являются натуральными числами.
а) Длина одной из сторон равна 17. Найдите длины всех сторон.
б) Периметр треугольника в 24 раза больше длины одной из сторон. Найдите длины сторон треугольника, если одна из них является простым числом.
в) Высота, опущенная на гипотенузу, равна 120. Найдите длины сторон треугольника.
Решение. Пусть x и y — длины катетов, а z — длина гипотенузы. Тогда по теореме Пифагора 
а) Если длина гипотенузы z = 17, а 
то 
откуда 
то есть 
а значит, 
Перебирая варианты x = 13, x = 14, x = 15 и x = 16, находим соответственно:
Только один из этих вариантов дает натуральное значение y = 8.
Если же один из катетов равен 17, то получаем уравнение
Число 289 единственным образом (с точностью до порядка) представляется в виде произведения натуральных сомножителей: 
откуда 
и 
следовательно, z = 145 и y = 144.
б) Поскольку каждый из катетов меньше гипотенузы, периметр треугольника меньше утроенной гипотенузы. Значит, в условии говорится о катете. Итак, 
откуда 
Тогда
(можно поделить на 
откуда 
Значит, y кратно 23, иначе число z нецелое. Пусть y = 23t, тогда z = 265t и x = 264t. Ясно, что z и x не могут быть простыми: они кратны 5 и 2 соответственно и больше этих чисел. Значит, простым будет y = 23t, что возможно только при t = 1.
в) Заметим, что проведенная к гипотенузе высота делит прямоугольный треугольник на два треугольника, подобных между собой и подобных исходному треугольнику. Найдем такие треугольники. Пусть a — отрезок гипотенузы от основания высоты до вершины треугольника, b — соответствующий катет. Высота равна среднему геометрическому проекция катетов на гипотенузу, поэтому a — делитель числа 1202. Если 
тогда 
Числа 
и 
имеют одинаковую четность, поэтому оба должны быть четны. Этого достаточно, чтобы по ним найти подходящие a и b. Если 
то:
Переберем теперь четные делители 14 400, меньшие 120. Очевидно, что
В каждом случае выпишем a и выражение 
—
Ясно, что функция в левой части убывает, причем для d = 48 получаем 
поэтому можно перебирать только 
Тогда
— d = 50 и a = 119 — не подходит;
— d = 60 и a = 90 — подходит, тогда второй отрезок 160;
— d = 64 и a = 80,5 — не подходит;
— d = 72 и a = 64 — подходит, тогда второй отрезок 225;
— d = 80 и a = 50 — подходит, тогда второй отрезок 288;
— d = 90 и a = 35 — не подходит;
— d = 96 и a = 27 — не подходит;
— d = 100 и a = 22 — не подходит.
В каждом из этих случаев вычислим стороны треугольника. Для отрезков 90 и 160 гипотенуза равна 250, а катеты равны
и 200. Для отрезков 64 и 225 гипотенуза равна 289, а катеты равны
и 255. Для отрезков 50 и 288 гипотенуза равна 338, а катеты равны
и 312.
Ответ: а) 8, 15, 17 или 17, 144, 145; б) 23, 264, 265; в) 150, 200, 250, или 136, 255, 289, или 130, 312, 338.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в). | 4 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 3 |
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в) | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |