Тип 19 № 639680 
Числа и их свойства. Сюжетные задачи: кино, театр, мотки верёвки
i
У Пети есть монеты номиналом 1, 2, 5 и 10 рублей. Каждого вида монет у него по 100 штук. Цена пирожного в рублях выражается целым числом. Петя хочет купить пирожное без сдачи, но до покупки не знает сколько оно стоит.
а) Может ли Петя выбрать дома 16 монет так, чтобы купить пирожное стоимостью не более 100 рублей?
б) Может ли Петя выбрать дома 5 монет так, чтобы купить пирожное стоимостью не более 25 рублей?
в) Какое наименьшее количество монет нужно взять Пете, если известно, что пирожное стоит не более 100 рублей?
Решение. a) Да, может. Например, можно взять одну монету номиналом 1 рубль, две монеты номиналом 2 рубля, одну монету номиналом 5 рублей и 12 монет номиналом 10 рублей. С помощью этого набора монет можно набрать любое целое число рублей от 1 до 100.
б) Нет, не может. Предположим, что можно выбрать 5 монет. Для того, чтобы заплатить 3 рубля нужно минимум две монеты (1 руб. и 2 руб.). Чтобы заплатить любую сумму, не превышающую четырех рублей, нужно минимум три монеты (1, 1 и 2 руб. или 1, 2 и 2 руб.). Если среди оставшихся двух монет не более одной монеты номиналом 10 руб., то общая сумма не превышает 
руб. и нельзя заплатить 21 рубль. Если среди оставшихся ровно две монеты номиналом 10 руб., то наборами 1, 1, 2, 10 и 10 или 1, 2, 2, 10 и 10 нельзя заплатить 19 руб. Значит, нельзя выбрать 5 монет.
в) Пусть Петя взял не более 12 монет. Аналогично пункту б) заключаем, что для того, чтобы заплатить сумму, не превышающую четырех рублей, нужно минимум три монеты. Тогда общая сумма не превышает 9 · 10 + 2 + 2 + 1 = 95 руб.
Если же Петя возьмёт девять монет по 10 рублей, одну монету 5 рублей, две монеты по 2 рубля и одну монету 1 рубль, то он сможет набрать любую сумму от 1 до 100 рублей. Если пирожное стоит 100 рублей, то он просто отдаст все деньги. Иначе пирожное стоит 
руб., где 
Тогда Петя отдаст a монет по 10 рублей, и, если 
то отдаст монету 5 рублей и наберёт остаток монетами из набора 2, 2 и 1 рубль. А иначе сразу наберёт b монетами из этого набора.
Ответ: а) да, может; б) нет, не может; в) 13 монет.
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в). | 4 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 3 |
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в) | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Ответ: а) да, может; б) нет, не может; в) 13 монет.
639680
а) да, может; б) нет, не может; в) 13 монет.
PDF-версии: