Ре­ше­ние. a)  Да, может. На­при­мер, можно взять одну мо­не­ту но­ми­на­лом 1 рубль, две мо­не­ты но­ми­на­лом 2 рубля, одну мо­не­ту но­ми­на­лом 5 руб­лей и 12 монет но­ми­на­лом 10 руб­лей. С по­мо­щью этого на­бо­ра монет можно на­брать любое целое число руб­лей от 1 до 100.

б)  Нет, не может. Пред­по­ло­жим, что можно вы­брать 5 монет. Для того, чтобы за­пла­тить 3 рубля нужно ми­ни­мум две мо­не­ты (1 руб. и 2 руб.). Чтобы за­пла­тить любую сумму, не пре­вы­ша­ю­щую че­ты­рех руб­лей, нужно ми­ни­мум три мо­не­ты (1, 1 и 2 руб. или 1, 2 и 2 руб.). Если среди остав­ших­ся двух монет не более одной мо­не­ты но­ми­на­лом 10 руб., то общая сумма не пре­вы­ша­ет руб. и нель­зя за­пла­тить 21 рубль. Если среди остав­ших­ся ровно две мо­не­ты но­ми­на­лом 10 руб., то на­бо­ра­ми 1, 1, 2, 10 и 10 или 1, 2, 2, 10 и 10 нель­зя за­пла­тить 19 руб. Зна­чит, нель­зя вы­брать 5 монет.

в)  Пусть Петя взял не более 12 монет. Ана­ло­гич­но пунк­ту б) за­клю­ча­ем, что для того, чтобы за­пла­тить сумму, не пре­вы­ша­ю­щую че­ты­рех руб­лей, нужно ми­ни­мум три мо­не­ты. Тогда общая сумма не пре­вы­ша­ет 9 · 10 + 2 + 2 + 1 = 95 руб.

Если же Петя возьмёт де­вять монет по 10 руб­лей, одну мо­не­ту 5 руб­лей, две мо­не­ты по 2 рубля и одну мо­не­ту 1 рубль, то он смо­жет на­брать любую сумму от 1 до 100 руб­лей. Если пи­рож­ное стоит 100  руб­лей, то он про­сто от­даст все день­ги. Иначе пи­рож­ное стоит руб., где Тогда Петя от­даст a монет по 10  руб­лей, и, если то от­даст мо­не­ту 5  руб­лей и наберёт оста­ток мо­не­та­ми из на­бо­ра 2, 2 и 1 рубль. А иначе сразу наберёт b мо­не­та­ми из этого на­бо­ра.

Ответ: а)  да, может; б)  нет, не может; в)  13 монет.