ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 638527 Добавить в вариант

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

$дробь: числитель: 9x в квадрате минус a в квадрате , знаменатель: 3x минус 9 плюс 2a конец дроби =0$

имеет ровно два различных решения.

Спрятать решение

Решение.

Запишем систему:

$система выражений 9x в квадрате минус a в квадрате =0,3x минус 9 плюс 2a не равно 0 конец системы . равносильно система выражений a в квадрате =9x в квадрате ,a не равно минус 1,5 x плюс 4,5. конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений a=3x,a= минус 3x, конец системы . a не равно минус 1,5 x плюс 4,5. конец совокупности .$

Построим графики уравнений в системе координат xOa.

1)   $a=3x$ или $a= минус 3x$   — линейные функции, графиками являются прямые, проходящие через точку (0; 0) (выделены оранжевым);

2)   $a = минус 1,5 x плюс 4,5$   — линейная функция, графиком является прямая (выделена синим).

Найдем точки пересечения графиков функций:

$совокупность выражений система выражений a=3x,a = минус 1,5 x плюс 4,5, конец системы . система выражений a= минус 3x,a = минус 1,5 x плюс 4,5 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений a=3x,3x = минус 1,5 x плюс 4,5, конец системы . система выражений a= минус 3x, минус 3x= минус 1,5 x плюс 4,5 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений a=3x,x =1, конец системы . система выражений a= минус 3x,x= минус 3 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений a=3, x= 1, конец системы . система выражений a=9,x= минус 3, конец системы . конец совокупности .$ $совокупность выражений система выражений a=3x,a = минус 1,5 x плюс 4,5, конец системы . система выражений a= минус 3x,a = минус 1,5 x плюс 4,5 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений a=3x,3x = минус 1,5 x плюс 4,5, конец системы . система выражений a= минус 3x, минус 3x= минус 1,5 x плюс 4,5 конец системы . конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений система выражений a=3x,x =1, конец системы . система выражений a= минус 3x,x= минус 3 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений a=3, x= 1, конец системы . система выражений a=9,x= минус 3, конец системы . конец совокупности .$

откуда получаем A (1; 3) и B (−3; 9).

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два различных решения при $a меньше 0,$ $0 меньше a меньше 3,$ $3 меньше a меньше 9$ и $a больше 9.$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; 3 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 3; 9 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 9; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений параметра, отличающееся от исходного только включением точки 0	3
Верно рассмотрен хотя бы один из случаев и получено множество значений параметра, отличающееся от искомого только включением одной из точек −9 или −3 ИЛИ Получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом выполнены все шаги решения	2
Задача сведена к исследованию: взаимного расположения параболы и прямых (аналитически или графически)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Аналоги к заданию № 526336: 638527 Все

Классификатор алгебры: Неравенства с параметром, Комбинация прямых

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь