РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Обозначим через a_n произведение всех делителей натурального числа n.

а)  Может ли быть a_n  =  1000?

б)  Чему равно n, если a_n  =  21 952?

в)  При каких значениях n выполняется равенство a_n  =  n²?

Решение. Заметим, что все делители числа разбиваются на пары, дающие в произведении само число (если оно является квадратом, среди его делителей есть число, парное само к себе). Перемножая два таких произведения, получим произведение всех пар вида «делитель  — число, дающее в произведении с ним исходное число». Пусть d  — количество делителей, тогда $a_n в квадрате =n в степени d .$

а)  Находим:

$n в степени левая круглая скобка 2d правая круглая скобка =1 000 000=1000 в квадрате =100 в кубе =10 в степени 6 .$

Других представлений в виде четной степени натурального числа оно не имеет, но при этом у 1 000 000 не один делитель, у 1000 не 2 делителя, у 100 не 3, а у 10 не 6. Требуемое невозможно.

б)  Заметим, что $21 952=2 в степени 6 умножить на 7 в кубе ,$ откуда

$n в степени левая круглая скобка 2d правая круглая скобка =2 в степени левая круглая скобка 12 правая круглая скобка умножить на 7 в степени 6 = левая круглая скобка 2 в квадрате умножить на 7 правая круглая скобка в степени 6 = левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка умножить на 7 в квадрате правая круглая скобка в кубе = левая круглая скобка 2 в степени 6 умножить на 7 в кубе правая круглая скобка в квадрате .$

Число $2 в квадрате умножить на 7=28$ действительно имеет 6 делителей (1, 2, 4, 7, 14, 28), а число $2 в степени 6 умножить на 7 в кубе$ имеет больше двух делителей, как и число $2 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка умножить на 7 в квадрате$   — больше трех.

в)  Ясно, что $n=1$ подходит. Пусть $n больше 1,$ тогда $a_n в квадрате =n в степени 4 ,$ значит, у таких чисел должно быть ровно 4 делителя, то есть кроме пары 1, n должна быть еще ровно одна пара делителей. Пусть p  — простой делитель n. Если $дробь: числитель: n, знаменатель: p конец дроби$ имеет еще какой-⁠то простой делитель, кроме себя и p, то получим уже больше двух делителей. Если это степень p, то обязательно вторая, поскольку при $дробь: числитель: n, знаменатель: p конец дроби =p$ получаем $n=p в квадрате$ с тремя делителями, при $дробь: числитель: n, знаменатель: p конец дроби больше p в квадрате$ есть делители p, p², $дробь: числитель: n, знаменатель: p конец дроби$   — уже три. Тогда n  =  p³. Если же оно само простое, то n  =  pq  — произведение двух простых чисел.

Ответ: а)  нет; б)  28; в)  n  =  1, n  =  p³, n  =  pq для любых простых чисел $p не равно q.$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	638318	а)  нет; б)  28; в)  n  =  1, n  =  p³, n  =  pq для любых простых чисел $p не равно q.$

Ключ