PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
имеет единственное решение.
Решение. Преобразуем уравнение:
Рассмотрим все возможные случаи.
1. При 
исходное уравнение имеет два корня, что не подходит:
2. При 
вторая система полученной совокупности (⁎⁎) не имеет решений. Определим количество решений системы (⁎). Рассмотрим функцию 
Нули функции: 
и 
Изобразим эскиз графика при 
(см. рис. 1). При любом значении горизонтальная прямая 
ровно один раз пересекает график 
при всех неотрицательных значениях x. Значит, при условие задачи выполнено.
3. При 
система (⁎) не имеет решений. Определим количество решений системы (⁎⁎). Изобразим эскиз графика функции 
при (см. рис. 2). Нули функции: и 
вершина в точке 
Тогда для выполнения условия задачи необходимо и достаточно выполнения условия 
Решим систему:
4. При 
исходное уравнение имеет один корень 
условие задачи выполнено.
5. При 
система (⁎) не имеет решений. Определим количество решений системы (⁎⁎). Изобразим эскиз графика функции 
при (см. рис. 3). Нули функции: и 
Заметим, что при любом значении 
горизонтальная прямая 
ровно один раз пересекает график при отрицательных значениях x. Значит, при условие задачи выполнено.
Таким образом, исходное уравнение имеет единственное решение при 
и 
Ответ: 
Приведем другое решение.
Если 
то уравнение принимает вид 
и имеет два корня: числа −2 и 0. Поэтому это значение параметра не подходит. При 
число x = 0 не является решением уравнения, а потому его можно записать в виде
Определим, при каких значениях параметра графики левой и правой части имеют ровно одну точку пересечения. График левой части уравнения — «галка» с вершиной x = −2a, а график правой части уравнения — гипербола, расположенная в первой и третьей четвертях при и во второй и четвертой при 
При Тогда график модуля и гипербола имеют единственную в силу разной монотонности функций общую точку, лежащую в первой четверти (см. рис. 1). Все такие значения параметра подходят.
При графики функций расположены так, как показано на втором рисунке. Они пересекаются в единственной точке, лежащей во второй четверти (см. рис. 2). Все такие значения параметра подходят.
Если же 
то графики могут иметь две общие точки, лежащие во второй четверти (см. рис. 3). Чтобы решение было единственным, правая ветвь графика модуля не должна не иметь общих точек с левой ветвью гиперболы. Это означает, что не должно иметь решений уравнение 
Запишем его как квадратное, получим 
Вычислим четверть дискриминанта: 
Дискриминант должен быть отрицательным, откуда
Рассматриваемому случаю соответствуют 
Объединяя найденные результаты, окончательно получаем:
или
Ответ: или
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
или или