РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 636742 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 414

Классификатор алгебры: Уравнения смешанного типа, Уравнения, рациональные относительно тригонометрических функций, Уравнение с модулем

Методы алгебры: Тригонометрические формулы для тройных углов, Формулы двойного угла, Разложение на множители

Уравнения. Тригонометрические уравнения, разные задачи

а)  Решите уравнение $дробь: числитель: синус в кубе x умножить на косинус 3 x плюс косинус в кубе x умножить на синус 3 x, знаменатель: | синус 2 x| конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби .$

б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка 2 Пи ; 4 Пи правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Преобразуем числитель, используя формулы двойных и тройного аргумента:

$синус в кубе x умножить на косинус 3 x плюс косинус в кубе x умножить на синус 3 x = синус в кубе x левая круглая скобка 4 косинус в кубе x минус 3 косинус x правая круглая скобка плюс косинус в кубе x левая круглая скобка 3 синус x минус 4 синус в кубе x правая круглая скобка =$
$= синус x косинус x левая круглая скобка 4 синус в квадрате x косинус в квадрате x минус 3 синус в квадрате x плюс 3 косинус в квадрате x минус 4 косинус в квадрате x синус в квадрате x правая круглая скобка =$
$= синус x косинус x левая круглая скобка 3 косинус в квадрате x минус 3 синус в квадрате x правая круглая скобка = 3 синус x косинус x левая круглая скобка косинус в квадрате x минус синус в квадрате x правая круглая скобка = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби синус 2x косинус 2x.$ $синус в кубе x умножить на косинус 3 x плюс косинус в кубе x умножить на синус 3 x =$
$= синус в кубе x левая круглая скобка 4 косинус в кубе x минус 3 косинус x правая круглая скобка плюс косинус в кубе x левая круглая скобка 3 синус x минус 4 синус в кубе x правая круглая скобка =$
$= синус x косинус x левая круглая скобка 4 синус в квадрате x косинус в квадрате x минус 3 синус в квадрате x плюс 3 косинус в квадрате x минус 4 косинус в квадрате x синус в квадрате x правая круглая скобка =$
$= синус x косинус x левая круглая скобка 3 косинус в квадрате x минус 3 синус в квадрате x правая круглая скобка = 3 синус x косинус x левая круглая скобка косинус в квадрате x минус синус в квадрате x правая круглая скобка = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби синус 2x косинус 2x.$ $синус в кубе x умножить на косинус 3 x плюс косинус в кубе x умножить на синус 3 x =$
$= синус в кубе x левая круглая скобка 4 косинус в кубе x минус 3 косинус x правая круглая скобка плюс косинус в кубе x левая круглая скобка 3 синус x минус 4 синус в кубе x правая круглая скобка =$
$= синус x косинус x левая круглая скобка 4 синус в квадрате x косинус в квадрате x минус 3 синус в квадрате x плюс 3 косинус в квадрате x минус 4 косинус в квадрате x синус в квадрате x правая круглая скобка =$
$= синус x косинус x левая круглая скобка 3 косинус в квадрате x минус 3 синус в квадрате x правая круглая скобка =$
$= 3 синус x косинус x левая круглая скобка косинус в квадрате x минус синус в квадрате x правая круглая скобка = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби синус 2x косинус 2x.$

Таким образом,

$дробь: числитель: синус в кубе x умножить на косинус 3 x плюс косинус в кубе x умножить на синус 3 x, знаменатель: | синус 2 x| конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби равносильно дробь: числитель: дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби синус 2x косинус 2x, знаменатель: | синус 2x| конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби равносильно дробь: числитель: синус 2x, знаменатель: | синус 2x| конец дроби косинус 2x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$ $дробь: числитель: синус в кубе x умножить на косинус 3 x плюс косинус в кубе x умножить на синус 3 x, знаменатель: | синус 2 x| конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби равносильно$
$равносильно дробь: числитель: дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби синус 2x косинус 2x, знаменатель: | синус 2x| конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби равносильно дробь: числитель: синус 2x, знаменатель: | синус 2x| конец дроби косинус 2x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

Дробь в левой части уравнения принимает значения 1 или −1. Рассмотрим оба случая.

Если $синус 2x больше 0,$ то получаем, что $косинус 2x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$ Обоим этим условиям одновременно удовлетворяют лишь числа $2x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k,$ откуда $x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k, k принадлежит Z .$

Если $синус 2x меньше 0,$ то получаем, что $косинус 2x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$ Этим условиям одновременно удовлетворяют числа $2x = минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n,$ а значит, $x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи n, n принадлежит Z .$

б)  Корни, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка 2 Пи ; 4 Пи правая квадратная скобка ,$ отберем при помощи двойных неравенств:

$2 Пи меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k меньше или равно 4 Пи равносильно дробь: числитель: 11, знаменатель: 6 конец дроби меньше или равно k меньше или равно дробь: числитель: 23, знаменатель: 6 конец дроби равносильно совокупность выражений k= 2,k= 3; конец совокупности .$

$2 Пи \leqslant минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи n меньше или равно 4 Пи равносильно дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно n меньше или равно дробь: числитель: 13, знаменатель: 3 конец дроби равносильно совокупность выражений n = 3,n = 4. конец совокупности .$

Найденным значениям параметров соответствуют числа $дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 8 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 19 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 8 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 19 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

636742

а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 8 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 19 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 414

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	636742	а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 8 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 19 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$